13.OscillationsMedium

કોઈ એક સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ દ્રવ્યમાન સમક્ષિતિજ સમતલમાં કોણીય વેગ $\omega $ સાથે ઘર્ષણ કે અવમંદનરહિત દોલનો માટે મુક્ત છે. તેને $t = 0 $ એ, $x_0$ અંતર સુધી ખેંચવામાં આવે છે અને કેન્દ્ર તરફ $v_0$ , વેગથી ધક્કો મારવામાં આવે છે. પ્રાચલો , $\omega ,x-0$ અને $v_0$ નાં પદમાં પરિણામી દોલનોના કંપવિસ્તાર નક્કી કરો. (સૂચન : સમીકરણ $x = a\, cos\,(\omega t + \theta )$ સાથે શરૂઆત કરો અને નોંધ કરો કે, પ્રારંભિક વેગ ઋણ છે.)

Solution

The displacement equation for an oscillating mass is given by:

$x=A \cos (\omega t+\theta)$

Where,

$A$ is the amplitude $x$

is the displacement $\theta$

is the phase constant

Velocity, $v=\frac{d x}{d t}=-A \omega \sin (\omega t+\theta)$

At $t=0, x=x_{0}$

$A \cos \theta=x_{0} \ldots(i)$

And, $\frac{d x}{d t}=-v_{0}=A \omega \sin \theta$

$A \sin \theta=\frac{v_{0}}{\omega} \ldots(i i)$

Squaring and adding equations ( $i$ ) and ($ ii $), we get

$A^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)=x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}\right)$

$\therefore A=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}$

Hence, the amplitude of the resulting oscillation is $\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}$

$600 \,N/m $ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ ધરાવતી બંદૂકમાં $15\, g$ નો બોલ મૂકીને $5\,cm$ દબાવીને મુકત કરતાં દડાની મહત્તમ અવધી કેટલી ..... $m$ થાય? ($g = 10\, m/s^2$)

Difficult

Medium

Medium

Easy

Medium