- Home
- Standard 11
- Physics
કોઈ એક સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ દ્રવ્યમાન સમક્ષિતિજ સમતલમાં કોણીય વેગ $\omega $ સાથે ઘર્ષણ કે અવમંદનરહિત દોલનો માટે મુક્ત છે. તેને $t = 0 $ એ, $x_0$ અંતર સુધી ખેંચવામાં આવે છે અને કેન્દ્ર તરફ $v_0$ , વેગથી ધક્કો મારવામાં આવે છે. પ્રાચલો , $\omega ,x-0$ અને $v_0$ નાં પદમાં પરિણામી દોલનોના કંપવિસ્તાર નક્કી કરો. (સૂચન : સમીકરણ $x = a\, cos\,(\omega t + \theta )$ સાથે શરૂઆત કરો અને નોંધ કરો કે, પ્રારંભિક વેગ ઋણ છે.)
Solution
The displacement equation for an oscillating mass is given by:
$x=A \cos (\omega t+\theta)$
Where,
$A$ is the amplitude $x$
is the displacement $\theta$
is the phase constant
Velocity, $v=\frac{d x}{d t}=-A \omega \sin (\omega t+\theta)$
At $t=0, x=x_{0}$
$A \cos \theta=x_{0} \ldots(i)$
And, $\frac{d x}{d t}=-v_{0}=A \omega \sin \theta$
$A \sin \theta=\frac{v_{0}}{\omega} \ldots(i i)$
Squaring and adding equations ( $i$ ) and ($ ii $), we get
$A^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)=x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}\right)$
$\therefore A=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}$
Hence, the amplitude of the resulting oscillation is $\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}$
