13.OscillationsMedium

किसी कमानी से लटका एक पिण्ड एक क्षैतिज तल में कोणीय वेग $\omega$ से घर्षण या अवमंदन रहित दोलन कर सकता है। इसे जब $x_{0}$ दूरी तक खींचते हैं और खींचकर छोड़ देते हैं तो यह संतुलन केन्द्र से समय $t=0$ पर $v_{0}$ वेग से गुजरता है। प्राचल $\omega . x_{0}$ तथा $v_{0}$ के पदों में परिणामी दोलन का आयाम ज्ञात करिये। [संकेत: समीकरण $x=a \cos (\omega t+\theta)$ से प्रारंभ कीजिए। ध्यान रहे कि प्रारंभिक वेग ऋणात्मक है। ]

Solution

The displacement equation for an oscillating mass is given by:

$x=A \cos (\omega t+\theta)$

Where,

$A$ is the amplitude $x$

is the displacement $\theta$

is the phase constant

Velocity, $v=\frac{d x}{d t}=-A \omega \sin (\omega t+\theta)$

At $t=0, x=x_{0}$

$A \cos \theta=x_{0} \ldots(i)$

And, $\frac{d x}{d t}=-v_{0}=A \omega \sin \theta$

$A \sin \theta=\frac{v_{0}}{\omega} \ldots(i i)$

Squaring and adding equations ( $i$ ) and ($ ii $), we get

$A^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)=x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}\right)$

$\therefore A=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}$

Hence, the amplitude of the resulting oscillation is $\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}$

स्प्रिंग स्थिरांक $k$ वाली एक स्प्रिंग को काटकर दो हिस्से इस प्रकार किये जाते हैं कि एक हिस्सा दूसरे से लम्बाई में दुगुना है। तब लम्बे हिस्से का स्प्रिंग स्थिरांक होगा

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