W भार की एक असमांग छड़ को, उपेक्षणीय भार

English

Gujarati

Hindi

6.System of Particles and Rotational Motion

medium

$W$ भार की एक असमांग छड़ को, उपेक्षणीय भार वाली दो डोरियों से चित्र में दर्शाये अनुसार लटका कर विरामावस्था में रखा गया है। डोरियों द्वारा ऊर्ध्वाधर से बने कोण क्रमश: $36.9^{\circ}$ एवं $53.1^{\circ}$ हैं। छड़ $2\, m$ लम्बाई की है। छड़ के बाएँ सिरे से इसके गुरुत्व केन्द्र की दूरी $d$ ज्ञात कीजिए।

Option A

Option B

Option C

Option D

Solution

The free body diagram of the bar is shown in the following figure

Length of the bar, $l=2 m$

$T_{1}$ and $T_{2}$ are the tensions produced in the left and right strings respectively.

At translational equilibrium, we have

$T_{1} \sin 36.9^{\circ}=T_{2} \sin 53.1$

$\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{\sin 53.1^{\circ}}{\sin 36.9}$

$=\frac{0.800}{0.600}=\frac{4}{3}$

$\Rightarrow T_{1}=\frac{4}{3} T_{2}$

For rotational equilibrium, on taking the torque about the centre of gravity, we have

$T_{1} \cos 36.9 \times d=T_{2} \cos 53.1(2-d)$

$T_{1} \times 0.800 d=T_{2} 0.600(2-d)$

$\frac{4}{3} \times T_{2} \times 0.800 d=T_{2}[0.600 \times 2-0.600 d]$

$1.067 d+0.6 d=1.2$

$\therefore d=\frac{1.2}{1.67}$

$=0.72 m$

Hence, the $C.G.$ (centre of gravity) of the given bar lies $0.72 m$ from its left end

Standard 11

Physics

एक निर्देश तंत्र जो एक जड़त्वीय निर्देश तंत्र की तुलना में त्वरित हो, अजड़त्वीय निर्देश तंत्र कहलाता है। स्थिर कोणीय वेग $\omega$ से घूमती हुई डिस्क पर बद्ध (fixed) निर्देश तंत्र अजड़त्वीय तंत्र का एक उदाहरण है। $m$ द्रव्यमान का एक कण घूमती हुई डिस्क पर गतिमान है। गतिमान कण डिस्क पर बद्ध निर्देश तंत्र के सापेक्ष बल $\vec{F}_{\text {rot }}$ तथा एक जड़त्वीय निर्देश तंत्र के सापेक्ष बल $\vec{F}_{\text {in }}$ को महसूस करता है। $\vec{F}_{\text {rot }}$ और $\vec{F}_{\text {in }}$ के बीच का संबंध निम्नलिखित समीकरण में दिया गया है

$\vec{F}_{\text {rot }}=\vec{F}_{\text {in }}+2 m\left(\vec{v}_{\text {rot }} \times \vec{\omega}\right)+m(\vec{\omega} \times \vec{r}) \times \vec{\omega},$

यहाँ पर $\vec{v}_{\text {rot }}$ घूमते हुए निर्देश तंत्र में कण का वेग है तथा $\vec{r}$ कण का डिस्क के मध्य बिन्दु के सापेक्ष स्थिति सदिश (position vector) है।

मानिए कि $R$ त्रिज्या की एक डिस्क, जिसमें व्यास के समानान्तर एक घर्षणरहित खाँचा है, एक स्थिर कोणीय गति $\omega$ से अपने अक्ष पर वामावर्त दिशा में घूम रही है। एक निर्देश तंत्र मानिए जिसका मूलबिंदू डिस्क के मध्य बिन्दु पर है एवं $x$-अक्ष खाँचे के समानान्तर है, $y$-अक्ष खाँचे के अभिलम्ब पर है एवं $z$-अक्ष घूमने वाली अक्ष के समानान्तर है $(\vec{\omega}=\omega \hat{k}) । m$ द्रव्यमान वाले एक छोटे गुटके को समय $t=0$ पर $\vec{r}=(R / 2) \hat{i}$ बिन्दु पर धीरे से इस तरह से रखा जाता है कि वो सिर्फ खाँचे में ही चल सके।

($1$) समय $t$ पर गुटके की दूरी $r$ का मान है:

$(A)$ $\frac{R}{4}\left(e^{\omega t}+e^{-\omega t}\right)$

$(B)$ $\frac{R}{2} \cos \omega t$

$(C)$ $\frac{R}{4}\left(e^{2 \omega t}+e^{-2 \omega t}\right)$

$(D)$ $\frac{R}{2} \cos 2 \omega t$

($2$) गुटके पर डिस्क की नेट प्रतिक्रिया (net reaction) है:

$(A)$ $\frac{1}{2} m \omega^2 R\left(e^{2 \omega t}-e^{-2 \omega t}\right) \hat{j}+m g \hat{k}$

$(B)$ $\frac{1}{2} m \omega^2 R\left(e^{\omega t}-e^{-\omega t}\right) \hat{j}+m g \hat{k}$

$(C)$ $-m \omega^2 R \cos \omega t \hat{j}-m g \hat{k}$

$(D)$ $m \omega^2 R \sin \omega t \hat{j}-m g \hat{k}$

दिये गए सवाल का जवाब दीजिये ($1$) और ($2$)

normal

(IIT-2016)

जैसा चित्र में दिखाया गया है, एक खड़ी होने वाली सीढ़ी के दो पक्षों $BA$ और $CA$ की लम्बाई $1.6\, m$ है और इनको $A$ पर कब्ज़ा लगा कर जोड़ा गया है। इन्हें ठीक बीच में, $0.5\, m$ लम्बी रस्सी $DE$ द्वारा बांधा गया है। सीढ़ी $BA$ के अनुदिश $B$ से $1.2\, m$ की दूरी पर स्थित बिन्दु $F$ से $40\, kg$ का एक भार लटकाया गया है। यह मानते हुए कि फर्श घर्षण रहित है और सीढ़ी का भार उपेक्षणीय है, रस्सी में तनाव और सीढ़ी पर फर्श द्वारा लगाया गया बल ज्ञात कीजिए। $\left(g=9.8\, m / s ^{2}\right.$ लीजिए) (संकेत: सीढ़ी के दोनों ओर के संतुलन पर अलग-अलग विचार कीजिए)

hard

बल आघूर्ण के सिद्धान्त पर कार्य करने वाली एक भौतिक तुला के बाँये पलड़े में जब $5\; mg$ भार रखा जाता है तो कमानी क्षैतिज हो जाती है। तुला के दोनों पलड़ों का द्रव्यमान समान है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है ?

medium

(JEE MAIN-2017)

एकसमान धातु की पट्टी, जो कि एक त्रिभुज $ABC$ के आकार में है, का द्रव्यमान $540 \,gm$ है। भुजाओं $AB , BC$, एवं $CA$ की लम्बाई क्रमश: $3 \,cm$, $5 \,cm$ एवं $4 \,cm$ है। यह पह्टी मुक्त रूप से बिंदु $A$ पर धुराग्रस्त (pivotted) है। एक शीर्ष पर क्या द्रव्यमान जोड़ा जाए जिससे कि पट्टी इस तरह लटके कि उसकी लम्बी भुजा पूर्णतः क्षैतिज हो जाए ?

normal

(KVPY-2016)

एक मीटर छड़ के केन्द्र के नीचे क्षुर-धार रखने पर वह इस पर संतुलित हो जाती है जब दो सिक्के, जिनमें प्रत्येक का द्रव्यमान $5\, g$ है, $12.0\, cm$ के चिन्ह पर एक के ऊपर एक रखे जाते हैं तो छड़ $45.0\, cm$ चिन्ह पर संतुलित हो जाती है। मीटर छड़ का द्रव्यमान क्या है ?

medium

Solution

Similar Questions

Start a Free Trial Now