$z-$ દિશામાં ગતિ કરતું સમતલીય વિધુતચુંબકીય તરંગ $\vec E = {E_0}\,\sin \,(kz - \omega t)\hat i$ અને $\vec B = {B_0}\,\sin \,(kz - \omega t)\hat j$ વર્ણવેલું છે. બતાવો કે,

$(i)$ તરંગની સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા $U$ સરેરાશ $ = \frac{1}{4}{ \in _0}E_0^2 + \frac{1}{4}.\frac{{B_0^2}}{{{\mu _0}}}$ વડે આપવામાં આવે છે.

$(ii)$ સમય આધારિત તરંગની તીવ્રતા $I$ સરેરાશ $ = \frac{1}{2}c{ \in _0}E_0^2$ વડે આપવામાં આવે છે.

$(i)$વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ અને ચુંબકીયક્ષેત્ર સદિશના લીધે તરંગો ઊર્જાનું વહન કરે છે.

વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાં $\overrightarrow{ E }$ અને $\overrightarrow{ B }$ સમય સાથે અને એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ તથા ક્ષણે ક્ષણે બદલાય છે.

ધારો કે, $E$ અને $B$ એ સમયે સરેરાશ છે.

તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના લીધે ઊર્જા ધનતા,

$U _{ E }=\frac{1}{2} \epsilon_{0} E ^{2}$અને

ચુંબકીયક્ષેત્ર $B$ ના લીધે ઊર્જા ઘનતા,

$U _{ B }=\frac{1}{2} \frac{ B ^{2}}{\mu_{0}}$

તેથી $EM$ તરંગની કુલ સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા,

$U_{avg}=U_{ E }+U_{ B }=\frac{1}{2} E_{0} E^{2}+\frac{1}{2} \frac{B^{2}}{\mu_{0}}$

$EM$ તરંગો $z$-દિશામાં પ્રસરતા વિચારો તો, વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ અને ચુંબકીયક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{ E }= E _{0} \sin (k z-\omega t)$ અને$\overrightarrow{ B }= B _{0} \sin (k z-\omega t)$ થી દર્શાવાય.

$\overrightarrow{ B }= B _{0} \sin (k z-\omega t)$ થી દર્શાવે છે.

એક પૂર્ણ ચક્ર પરનું $E ^{2}$ નું સરેરાશ મૂલ્ય,

$\left\langle E ^{2}\right\rangle=\frac{ E _{0}^{2}}{2}$

તેથી $U_{\text {avg }}=\frac{1}{2} E_{0} \frac{E_{0}^{2}}{2}+\frac{1}{2} \mu_{0}\left(\frac{B_{0}^{2}}{2}\right)$

તેથી $U_{avg}=\frac{1}{4}\left[\epsilon_{0} E_{0}^{2}+\frac{B_{0}^{2}}{4 \mu_{0}}\right]\ldots (1)$

$(ii)$ હવે $E _{0}=c B _{0}$ અને $c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \in_{0}}}$

જો સમીકરણ $(1)$ માં $U_{\text {avg }}=0$ હોય તો,

$\frac{1}{4} \frac{ B _{0}^{2}}{\mu_{0}} =-\frac{1}{4} \in_{0} E _{0}^{2}$

$=-\frac{1}{4} \cdot \frac{ E _{0}^{2}}{\mu_{0} c^{2}}\left[\because c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \in_{0}}}\right]$

$\frac{1}{4} \frac{ B _{0}^{2}}{\mu_{0}}=\frac{1}{4} \frac{ E _{0}^{2} / c^{2}}{\mu_{0}}=\frac{ E _{0}^{2}}{4 \mu_{0}} \cdot \mu_{0} \epsilon_{0} \quad\left[c^{2}=\frac{1}{\mu_{0} E _{0}}\right]$

$\therefore \frac{1}{4} \frac{ B _{0}^{2}}{\mu_{0}}=\frac{1}{4} \epsilon_{0} E_{0}^{2}$