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$x - y$ तल ( $x$ क्षैतिज है एवं $y$ ऊपर की ओर उर्ध्व है) में मूल बिंदु से एक प्रक्षेप को $x$-अक्ष से $\alpha$ कोण बनाते हुए प्रक्षेपित किया जाता है। यदि मूल बिंदु से प्रक्षेपक की दूरी, $r=\sqrt{x^2+y^2}$, को $x$ के सापेक्ष अवलेखन किया जाए, तो $\alpha_1$ एवं $\alpha_2$ प्रक्षेपण कोणों के लिए $r ( x )$ दो अलग-अलग वक्र देता है (सलग्न चित्र देखिए) $\mid \alpha_1$ कोण के लिए $r ( x ), x$ के साथ क्रमशः बढ़ता रहता है। जबकि $\alpha_2$ कोण के लिए $r ( x )$ पहले बढ़ते हुए उच्चतम बिंदु पर पहुँचता है, फिर कम होने लगता है और एक न्यूनतम बिंदु पर पहुँचने के उपरान्त फिर से बढ़ने लगता है। इन दोनों व्यवहारों के बीच संक्रमण (switch) एक खास कोण $\alpha_{ c }\left(\alpha_1 < \alpha_{ c } < \alpha_2\right)$ पर होता है $\mid \alpha_{ c }$ का मान क्या है ? [वायु कर्षण को नगण्य मान लीजिए $\mid y(x)=x \tan \alpha-\frac{1}{2} \frac{\sec ^2 a}{v_0^2} x^2$, जहाँ $v_0$ प्रक्षेप की प्रारंभिक चाल है तथा $g$ गुरुत्वीय त्वरण है
$\sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$
$\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$
$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$
$\tan ^{-1}(3)$
Solution
(B)
$|\vec{r}|$ will increase if angle between $\frac{d \vec{r}}{d t}$ and $\vec{r}$ is acute.
so $r=\sqrt{ x ^2+ y ^2}$ will always increase if $\vec{r} \cdot \frac{d \vec{r}}{d t} > 0$
$[u \cos \alpha \hat{i}+(u \sin \alpha-g t) \hat{j}]$
$\left[u \cos \alpha t \hat{i}+\left(u \sin \alpha t-\frac{1}{2} g t^2\right) \hat{j}\right] > 0$
$u^2 \cos ^2 \alpha t+u^2 \sin ^2 \alpha t$
$+\frac{1}{2} g^2 t^3-\frac{u \sin \alpha g t^2}{2}-u \sin \alpha g t^2 > 0$
$u^2+\frac{1}{2} g^2 t^2-\frac{3}{2} u \sin \alpha g t > 0$
$\frac{1}{2} g^2 t^2-\frac{3}{2} u \sin \alpha g t+u^2 > 0$
for this quadratic expression to be always positive
$D < 0$
$\frac{9}{4} u^2 \sin ^2 \alpha g^2-2 g^2 u^2 < 0$
$\sin ^2 \alpha < \frac{8}{9} \Rightarrow \sin \alpha < \frac{2 \sqrt{2}}{3}$
$\Rightarrow \cos \alpha > \frac{1}{3}$
