लम्बाई l और द्रव्यमान m की एक पतली एकसमा

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6.System of Particles and Rotational Motion

medium

लम्बाई $l$ और द्रव्यमान $m$ की एक पतली एकसमान छड़ अपने एक सिरे से गुजर रही क्षैतिज अक्ष पर स्वतंत्र रूप से दोलायमान है। इसकी अधिकतम कोणीय चाल $\omega$ है। इसका द्रव्यमान केन्द्र इस महत्तम ऊँचाई तक उठेगा

A

$\;\frac{1}{3}\frac{{{l^2}{\omega ^2}}}{g}$

B

$\;\frac{1}{6}\;\frac{{l\omega }}{g}$

C

$\;\frac{1}{2}\frac{{{l^2}{\omega ^2}}}{g}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$

D

$\;\frac{1}{6}\frac{{{l^2}{\omega ^2}}}{g}$

(AIEEE-2009)

Solution

The moment of inertia of the rod about $O$ is

$\frac{1}{3}m{\ell ^2}$. The maximum angular speed of the rod is when the rod is instantaneously vertical. The energy of the rod in this condition is $\frac{1}{2}I{\omega ^2}\,$ where $I$ is the moment of inertia of the rod about $O.$ When the rod is in extreme portion, its angular velocity is zero momentarily. In this case, the energy of the rod is mgh where h is the maximum height to which the center of mass $(C.M)$ rises

$\begin{array}{l}
\therefore \,mgh = \frac{1}{2}I{\omega ^2} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3}m{l^2}} \right){\omega ^2}\\
\Rightarrow h = \frac{{{\ell ^2}{\omega ^2}}}{{6g}}
\end{array}$

Standard 11

Physics

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hard

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