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Mathematical Reasoning
hard
નીચેના વિધાનો
$(S1)$ $\quad(( p \vee q ) \Rightarrow r ) \Leftrightarrow( p \Rightarrow r )$
$(S2) \quad(( p \vee q ) \Rightarrow r ) \Leftrightarrow(( p \Rightarrow r ) \vee( q \Rightarrow r ))$
પૈકી
A
ફક્ત $(S1)$ નિત્યસત્ય છે.
B
ના તો $(S1)$ ન $(S2)$ નિત્યસત્ય છે.
C
ફક્ત $(S2)$ નિત્યસત્ય છે.
D
$(S1)$ અને $(S2)$ બંને નિત્યસત્ય છે.
(JEE MAIN-2023)
Solution
$S _1 \equiv(( p \vee q ) \Rightarrow r ) \Leftrightarrow( p \Rightarrow r )$
| $p$ | $q$ | $r$ | $p \vee q$ | $(p \vee q) \Rightarrow r$ | $p \Rightarrow r$ | $((p \vee q) \Rightarrow r) \Leftrightarrow(p \Rightarrow r)$ |
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
$S_2 \equiv(p \vee q) \Rightarrow r \Leftrightarrow((p \Rightarrow r) \vee(q \Rightarrow r))$
| $p$ | $q$ | $r$ | $(p \vee q) \Rightarrow r$ | $p \Rightarrow r$ | $q \Rightarrow r$ | $(p \Rightarrow r \vee(q \Rightarrow r))$ | $S 2$ |
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
$S 2 \rightarrow$ not a tautology
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