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$R$ त्रिज्या के पतले अर्द्धवलय पर $q$ आवेश एकसमान रूप से वितरित है। वलय के केन्द्र पर विद्युत क्षेत्र है
$\frac{q}{{2{\pi ^2}{\varepsilon _0}{R^2}}}$
$\frac{q}{{4{\pi ^2}{\varepsilon _0}{R^2}}}$
$\frac{q}{{4\pi {\varepsilon _0}{R^2}}}$
$\frac{q}{{2\pi {\varepsilon _0}{R^2}}}$
Solution
चित्र से $dl = R d\theta $; $dl$ पर आवेश = $lR \,dq$ $\left\{ {\lambda = \frac{q}{{\pi R}}} \right\}$
केन्द्र पर $dl$ भाग के कारण विद्युत क्षेत्र $dE = k.\frac{{\lambda Rd\theta }}{{{R^2}}}$
यदि एक समान एवं सममित अल्पांश $dl'$ और लिया जाये तो $dl$ और $dl'$ दोनों भागों के कारण केन्द्र पर उत्पन विद्युत क्षेत्र के घटक $dE\, sin\theta $ एक दूसरे को निरस्त कर देंगे एवं इनके $dE\,\cos \theta ,$ घटक जुड़ जायेंगे।
अत: केन्द्र पर कुल विद्युत क्षेत्र $ = 2\int_{\,0}^{\,\pi /2} {\,dE\,\cos \theta } $
$ = \frac{{2k\lambda }}{R}\int_{\,0}^{\,\pi /2} {\,\cos \theta \,d\,\theta } = \frac{{2k\lambda }}{R} = \frac{q}{{2{\pi ^2}{\varepsilon _0}{R^2}}}$
दूसरी विधि : जैसा कि हम जानते है, किसी निश्चित लम्बाई के आवेशित तार के कारण उसके लम्बार्द्धक पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{{2k\lambda }}{R}\sin \theta $
यदि इसे अर्धवृत्ताकार रूप में मोड़ दिया जाये तब $q = 90°$
$E = \frac{{2k\lambda }}{R}$
= $2 \times \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\left( {\frac{{q/\pi R}}{R}} \right)$
= $\frac{q}{{2{\pi ^2}{\varepsilon _0}{R^2}}}$
