પ્રચલિત સિદ્ધાંતો મુજબ, ન્યુક્લિયસની ફરતે ઈલેક્ટ્રૉન કોઈ પણ કક્ષામાં હોઈ શકે છે. તો પછી પરમાણુનું લાક્ષણિક પરિમાણ શાના પરથી નક્કી થાય છે? પરમાણુ તેના લાક્ષણિક પરિમાણ કરતાં હજાર ગણો મોટો કેમ નથી? આ પુસ્તકમાં તમે શીખ્યા તે પ્રખ્યાત મોડેલ પર પહોંચતાં અગાઉ બોહરને આ પ્રશ્નએ ખૂબ મૂંઝવી દીધો હતો? તેણે શોધ અગાઉ શું કર્યું હશે તેને મૂર્તિમંત (Simulate) કરવા માટે, કુદરતના મૂળભૂત અચળાંકોની મદદથી, આપણે નીચેની રમત કરીએ અને જોઈએ કે આપણને પરમાણુના જાણીતા પરિમાણ $(\sim 10^{-10}\, m)$ ના લગભગ જેટલી લંબાઈનું પરિમાણ ધરાવતી રાશિ મળે છે કે કેમ?

$(a)$ મૂળભૂત અચળાંકો $e, m$ અને $c$ પરથી લંબાઈના પરિમાણ ધરાવતી રાશિ રચો. તેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય શોધો.

$(b)$ તમે જોશો કે $(a)$ માં મેળવેલી લંબાઈ, પરમાણુના પરિમાણ કરતાં માનના (મૂલ્યના) ઘણાં ક્રમોથી નાની છે. ઉપરાંત તેમાં રહેલ છે. પરંતુ પરમાણુઓની ઊર્જાઓ મહદ્અંશે બિન-સાપેક્ષવાદીય વિસ્તારોમાં હોય છે જ્યાં $c$ કોઈ મહત્વનો ભાગ ભજવે છે તે અપેક્ષિત નથી. કદાચ આ બાબતે બોહરને એમ સૂચવ્યું હશે કે $c$ ને દૂર કરવો અને પરમાણુનું સાચું પરિમાણ મેળવવા માટે 'કંઈક બીજું' શોધવું. હવે, તે ગાળામાં પ્લેન્કના અચળાંક $h$ એ અન્ય સ્થળે દેખા દીધેલી જ હતી. $h, m$ અને $e$ પરમાણુનું સાચું પરિમાણ આપશે એવું ઓળખવામાં (સમજવામાં), બોહરનું મહાન અંતર્દર્શન (Insight) રહેલું છે. $h, m$ અને $ e$ પરથી લંબાઈનાં પરિમાણ ધરાવતી રાશિ રચો અને તેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય માનનો સાચો ક્રમ ધરાવે છે તેમ ચકાસીને પુષ્ટિ કરો. 

$(a)$ Charge on an electron, $=1.6 \times 10^{-19}\, C$

Mass Of an electron, $m_{e}=9.1 \times 10^{-31} \,kg$

Speed of light, $c=3 \times 10^{8} \,m / s$

The quantity having dimensions of length and involving the given quantities is $\left(\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} m_{e} c^{2}}\right)$ Where,

$\epsilon_{0}=$ Permittivity of free space And,

$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9}\, Nm ^{2} C ^{-2}$

The numerical value of the taken quantity will be

$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \times \frac{e^{2}}{m_{e} c^{2}}$

$=9 \times 10^{9} \times \frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{9.1 \times 10^{-31} \times\left(3 \times 10^{8}\right)^{2}}$

$=2.81 \times 10^{-15} \,m$

Hence, the numerical value of the taken quantity is much smaller than the typical size of an atom.

$(b)$ charge on an electron, $e=1.6 \times 10^{-19} \,C$

Mass of an electron, $m_{e}=9.1 \times 10^{-31} \,kg$

Planck's constant, $h=6.63 \times 10^{-34} \,Js$

Let us take a quantity involving the given quantities as $\frac{4 \pi \epsilon_{0}\left(\frac{h^{2}}{2 \pi}\right)}{m_{e} e^{2}}$

Where, $\quad \epsilon_{0}=$ Permittivity of free space And,

$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \,Nm ^{2} C ^{-2}$

The numerical value of the taken quantity will be

$4 \pi \epsilon_{0} \times \frac{\left(\frac{h}{2 \pi}\right)^{2}}{m_{0} e^{2}}$

$=\frac{1}{9 \times 10^{9}} \times \frac{\left(\frac{6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14}\right)^{2}}{9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}$

$=0.53 \times 10^{-10} \,m$

Hence, the value of the quantity taken is of the order of the atomic size.