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दीर्घवृत (ellipse) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ पर विचार कीजिये। माना कि $S(p, q)$ प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में एक इस प्रकार का बिंदु है कि $\frac{p^2}{9}+\frac{q^2}{4}>1$ है । बिंदु $S$ से दीर्घवृत के लिए दो स्पर्श रेखाएं (tangents) खींची गयी हैं, जिनमें से एक रेखा, दीर्घवृत पर लघु अक्ष (minor axis) के एक अंत्य बिंदु (end point) पर मिलती है तथा दूसरी रेखा चौथे चतुर्थांश (fourth quadrant) में दीर्घवृत के एक बिंदु $T$ पर मिलती है। माना कि $R$ दीर्घवृत का वह शीर्ष (vertex) है जिसका $x$-निर्देशांक ( $x$-coordinate) धनात्मक (positive) है, और दीर्घवृत का केंद्र $O$ है। यदि त्रिभुज $\triangle O R T$ का क्षेत्रफल $\frac{3}{2}$ है, तब निम्नलिखित विकल्पों में से कौन सा सही है?
$q=2, p=3 \sqrt{3}$
$q=2, p=4 \sqrt{3}$
$q=1, p=5 \sqrt{3}$
$q=1, p=6 \sqrt{3}$
Solution
$\operatorname{Ar}(\triangle ORT )=\frac{3}{2}$
$\left|\frac{1}{2} \times 3 \times 2 \sin \theta\right|=\frac{3}{2}$
$\sin \theta=\frac{1}{2} \Rightarrow \theta=\frac{11 \pi}{6}$
$T \left(\frac{3 \sqrt{3}}{2},-1\right)$
Tanget at $(0,2) \frac{x(0)}{9}+\frac{y(2)}{4}=1 \Rightarrow y=2$ $. . . . .(1)$
Tangent at $\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2},-1\right) \frac{x\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)}{9}+\frac{y(-1)}{4}=1$ $. . . . .(2)$
$\therefore$ By solving $(1)$ & $(2)$ $\Rightarrow p=3 \sqrt{3}, q=2$
$\Rightarrow$ Option $(A)$ is Correct.
