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दिये गए अर्ध वृत्त में एक दीर्घवृत्त को अंतर्गत किया गया है। यह दीर्घवृत्त, अर्धवृत्त के एक वृत्तीय तोरण को दो भिन्न बिंदुओं में तथा अर्धवृत्त के व्यास को छूता है। यदि दीर्घ वृत्त का दीर्घ अक्ष और अर्ध वृत्त का व्यास समानान्तर है तो, ऐसे अधिकतम क्षेत्रफल वाले दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता का मान निम्न होगा:
$\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{1}{2}$
$.. \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\sqrt{\frac{2}{3}}$
Solution
(d)
Let equation of ellipse is
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
$\therefore$ Equation of circle is
$x^2+(y+b)^2=r^2$
Put $x^2=a^2-\frac{a^2 y^2}{b^2}$ in circle
$a^2-\frac{a^2 y^2}{b^2}+(y+b)^2=r^2$
$\Rightarrow\left(1-\frac{a^2}{b^2}\right) y^2+2 b y+\left(a^2+b^2-r^2\right)=0$
$D=0 \Rightarrow r^2=\frac{a^4}{a^2-b^2} \Rightarrow b=a \sqrt{1-\frac{a^2}{r^2}}$
Area of ellipse $=\pi a b$
$A=\pi a^2 \sqrt{1-\frac{a^2}{r^2}}$
$\frac{d A}{d a}=0 \Rightarrow a^2=\frac{2 r^2}{3} \Rightarrow a=\sqrt{\frac{2}{3} r}$
$\therefore \quad b=a \sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow \quad e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$
