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आव्यूह $f(x)=\left[\begin{array}{ccc}\cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ के लिए नीचे दो कथन दिए गए हैं :
कथन $I$: आव्यूह $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ का व्युत्क्रम $\mathrm{f}(-\mathrm{x})$ है।
कथन $II$: $f(x) f(y)=f(x+y)$.
उपर्युक्त कथनों के लिये, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए।
कथन $I$ असत्य है परन्तु कथन $II$ सत्य हैं।
कथन $I$ तथा कथन $II$ दोनो असत्य हैं।
कथन $I$ सत्य है परन्तु कथन $II$ असत्य हैं।
कथन $I$ तथा कथन $II$ दोनों सत्य हैं।
Solution
$f(-x)=\left[\begin{array}{ccc}\cos x & \sin x & 0 \\-\sin x & \cos x & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right]$
$f(x) \cdot f(-x)=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right]=I$
Hence statement- $I$ is correct
Now, checking statement $II$
$f(y)=\left[\begin{array}{ccc}\cos y & -\sin y & 0 \\\sin y & \cos y & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right]$
$f(x) \cdot f(y)=\left[\begin{array}{ccc}\cos (x+y) & -\sin (x+y) & 0 \\\sin (x+y) & \cos (x+y) & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right]$
$ \Rightarrow f(x) \cdot f(y)=f(x+y)$
Hence statement -$II$ is also correct.
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एक निर्माता तीन प्रकार की वस्तुएँ $x, y,$ तथा $z$ का उत्पादन करता है जिन का वह दो बाजारों में विक्रय करता है। वस्तुओं की वार्षिक बिक्री नीचे सूचित (निदर्शित) है:
| बाज्ञार | $x$ | उत्पादन | $z$ |
| $I$ | $10,000$ | $2,000$ | $18,000$ |
| $II$ | $6,000$ | $20,000$ | $8,000$ |
यदि $x, y$ तथा $z$ की प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमश: $Rs.\, 2.50, Rs.\, 1.50$ तथा $Rs.\, 1.00$ है तो प्रत्येक बाज़ार में कुल आय (Revenue), आव्यूह बीजगणित की सहायता से ज्ञात कीजिए।
