निर्थारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं :
किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध $R.$
$R =\{(x, y): x, y$ के पिता हैं$\}$
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किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध $R.$
$R =\{(x, y): x, y$ के पिता हैं$\}$
$R =\{( x , y ): x$ is the father of $y \}$
$( x , x ) \notin R$
As $x$ cannot be the father of himself.
$\therefore R$ is not reflexive.
Now, let $( x , y ) \notin R$
$\Rightarrow x$ is the father of $y$
$\Rightarrow y$ cannot be the father of $y$
Indeed, $y$ is the son or the daughter of $y$.
$\therefore(y, x) \notin R$
$\therefore R$ is not symmetric.
Now, let $(x, y) \in R$ and $(y, z) \notin R$
$\Rightarrow x$ is the father of $y$ and $y$ is the father of $z$.
$\Rightarrow x$ is not the father of $z$
Indeed, $x$ is the grandfather of $z$
$\therefore $ $( x , z ) \notin R$
$\therefore R$ is not transitive.
Hence, $R$ is neither reflexive, nor symmetric, nor transitive.
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- [JEE MAIN 2014]
प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में संबंध "से कम" है
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एक अरिक्त समुच्चय $X$ दिया हुआ है। $P ( X )$ जो कि $X$ के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए। निम्नलिखित तरह से $P ( X )$ में एक संबंध $R$ परिभाषित कीजिए :
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सिद्ध कीजिए कि समुच्चय $\{1,2,3\}$ में $R =\{(1,2),(2,1)\}$ द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ सममित है कितु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।
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मान लीजिए कि समुच्चय $A$ में धन पूर्णाकों के क्रमित युग्मों (ordered pairs)का एक संबंध $R ,(x, y) R (u, v),$ यदि और केवल यदि, $x v=y u$ द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि $R$ एक तुल्यता संबंध है।
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