સમતલમાં થતી ગતિ માટે સરેરાશ વેગ, તત્કાલીન વેગ અને વેગના ઘટકો સમજાવો.

સરેરાશ વેગ:

પદાર્થના સ્થાનાંતર $\Delta \vec{r}$ તથા તેને અનુરૂપ સમયગાળા $\Delta t$ ના ગુણોત્તરને સરેરાશ વેગ $\langle\vec{v}\rangle$ કહે છે.

ધારો કે કોઈ $\Delta t$ સમયમાં $\Delta \vec{r}$ સ્થાનાંતર કરે છે, તો તેનો સરેરાશ વેગ

$\langle\vec{v}\rangle=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$

$\therefore\langle\vec{v}\rangle=\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right) \hat{i}+\left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right) \hat{j}$

$\langle\vec{v}\rangle=\left\langle v_{x}>\hat{i}+<v_{y}>\hat{j} \quad \ldots\right.$ (3) અથવા

$\langle\vec{v}\rangle=\frac{\Delta x \hat{i}+\Delta y \hat{j}}{\Delta t}$

સરેરાશ વેગની દિશા કણના સ્થાનાંતર $\Delta \vec{r}$ ની દિશામાં જ હોય છે.

તત્કાલિન વેગ:

ધારો કે, $\vec{\jmath}$ કોઈ કણ $\Delta t$ સમયમાં $\Delta \vec{r}$ જેટલું સ્થાનાંતર કરે છે. આ કણનો સરેરાશ વેગ,

$\langle\vec{v}\rangle=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$

અહી, સરેરાશ વેગ સ્થાનાંતર સદિશ $\Delta \vec{r}$ ની દિશામાં મળે છે. 

હવે ઉપરના સમીકરણમાં સમયનો ગાળો $\Delta t$ ધટાડતા જઈએ, તો $\Delta t_{1}, \Delta t_{2}, \Delta t_{3}$ સમયગાળા દરમિયાન ક્રમનું સ્થાનાંતર અનુક્રમે $\Delta \overrightarrow{r_{1}}, \Delta \overrightarrow{r_{2}}, \Delta \overrightarrow{r_{3}}$ મળે છે.

જ્યારે સમયનો ગાળો ઘટાડતાં જઈ $\Delta t \rightarrow 0$ કરતાં $\Delta \vec{r} \rightarrow 0$ મળે છે.

સમીકરણ $1$ માં $\lim _{\Delta t \rightarrow 0}$ લેતાં $P$ પાસેનો તત્કાલીન વેગ મળે છે.

ત્કાલીન વેગ,

$\vec{v}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$

$\therefore \vec{v}=\frac{d \vec{r}}{d t}$

વેગના ઘટકો:

કણનો સરેરાશ વેગ,

$\langle\Delta \vec{v}\rangle=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$

$\therefore\langle\Delta \vec{v}\rangle=\frac{\Delta x \hat{i}+\Delta y \hat{j}}{\Delta t}$

$\langle\Delta \vec{v}\rangle=\frac{\Delta x}{\Delta t} \hat{i}+\frac{\Delta y}{\Delta t} \hat{j}$

ઉપરના સમીકરણમાં $\lim _{\Delta t \rightarrow 0}$ લેતાં તત્કાલીન વેગ મળે છે.

$\vec{v}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right) \hat{i}+\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right) \hat{j}$

$\vec{v}=\left(\frac{d x}{d t}\right) \hat{i}+\left(\frac{d y}{d t}\right) \hat{j}$

$\therefore \vec{v}=\left(v_{x}\right) \hat{i}+\left(v_{y}\right) \hat{j}$

જ્યાં, $\left(v_{x}\right) \hat{i}$ અને $\left(v_{y}\right) \hat{j}$ એ અનુક્રમે વેગના $X$ અને $Y$ દિશાના સદિશ ધટકો છે.

સમીકરણ $(1)$ પરથી વેગનું મૂલ્ય,

$v=|\vec{v}|=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$

પરિણામી વેગની દિશા નીચેના સમીકરણ પરથી મેળવી શકાય છે.

$\tan \theta=\frac{v_{y}}{v_{x}}$

$\therefore \theta=\tan ^{-1}\left(\frac{v_{y}}{v_{x}}\right)$

જયાં, $\theta$ એ પરિણમી વેગ $\vec{v}$ એ X-અક્ષ સાથે રચેલો ખૂણો છે.