$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ के लिए, माना समीकरण निकाय $ x-y+z=5 $ $ 2 x+2 y+\alpha z=8 $ $ 3 x-y+4 z=\beta $ के अनंत हल है, तब $\alpha$ व $\beta$ निम्न में से किसके मूल है

निकाय $x + y + z = \lambda ,$ $5x - y + \mu z = 10$, $2x + 3y - z = 6$ के अद्वितीय हल का अस्तित्व निर्भर करता है

यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{ - {a^2}}&{ab}&{ac}\\{ab}&{ - {b^2}}&{bc}\\{ac}&{bc}&{ - {c^2}}\end{array}\,} \right| = K{a^2}{b^2}{c^2},$ तो $K = $

धनात्मक संख्यायें $x,y$ और $z $ के लिये सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{{{\log }_x}y}&{{{\log }_x}z}\\{{{\log }_y}x}&1&{{{\log }_y}z}\\{{{\log }_z}x}&{{{\log }_z}y}&1\end{array}\,} \right|$ का आंकिक मान है

यदि $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha &2\\2&\alpha\end{array}} \right]$ और $|{A^3}|$=125, तो $\alpha  = $

निम्न रेखीय समीकरण का विचार कीजिए :

$-x+y+2 z=0$

$3 x-a y+5 z=1$

$2 x-2 y-a z=7$

माना $a \in R$ के सभी मानों, जिनके लिए यह निकाय असंगत है, का समुच्चय $S_{1}$ है तथा $a \in R$ के सभी मानों, जिनके लिए इस निकाय के अनंत हल है, का समुच्चय $S _{2}$ है। यदि $S _{1}$ तथा $S _{2}$ में अवयवों की संख्या क्रमशः $n \left( S _{1}\right)$ तथा $n \left( S _{2}\right)$ है, तब