ધન સંખ્યાઓ $x,y$ અને $z$  માટે નિશ્રાયક $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{{{\log }_x}y}&{{{\log }_x}z}\\{{{\log }_y}x}&1&{{{\log }_y}z}\\{{{\log }_z}x}&{{{\log }_z}y}&1\end{array}\,} \right|$ ની કિમત મેળવો.

જો $(\mathrm{k}, 0),(4,0),(0,2)$ શિરોબિંદુવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ હોય, તો $\mathrm{k}$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}x&4&{y + z}\\y&4&{z + x}\\z&4&{x + y}\end{array}\,} \right| = $

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&{1 - x}&1\\1&1&{1 + y}\end{array}\,} \right|$ = . . .

જો સુરેખ સમીકરણો $x - 2y + kz = 1$ ; $2x + y + z = 2$ ;  $3x - y - kz = 3$ નો ઉકેલ  $(x, y, z) \ne 0$,  હોય તો  $(x, y)$ એ  . .  . .  રેખા પર આવેલ છે .

અહી $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ આપેલ છે. જો સમીકરણ સંહતિ

$\left(1+\cos ^{2} \theta\right) x+\sin ^{2} \theta y+4 \sin 3 \theta z=0$

$\cos ^{2} \theta x+\left(1+\sin ^{2} \theta\right) y+4 \sin 3 \theta z=0$

$\cos ^{2} \theta x+\sin ^{2} \theta y+(1+4 \sin 3 \theta) z=0$

ને શૂન્યતર ઉકેલ ધરાવે છે તો $\theta$ ની કિમંત મેળવો.