रैखिक समीकरण निकाय x+y+z=6 ; α x+β y+7 z=3

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3 and 4 .Determinants and Matrices

hard

रैखिक समीकरण निकाय $x+y+z=6$ ; $\alpha x+\beta y+7 z=3$ ; $x+2 y+3 z=14$ के लिए निम्न में कौन सा सत्य नही है?

A

यदि $\alpha=\beta=7$ है, तो निकाय का कोई हल नही है

B

यदि $\alpha=\beta$ तथा $\alpha \neq 7$ हैं, तो निकाय का केवल एक हल है

C

रेखा $x+2 y+18=0$ पर केवल एक बिन्दु $(\alpha, \beta)$ है जिसके लिए निकाय के अनंत हल हैं

D

रेखा $\mathrm{x}-2 \mathrm{y}+7=0$, पर प्रत्येक बिन्दु $(\alpha, \beta) \neq(7,7)$ के लिए निकाय के अनंत हल हैं

(JEE MAIN-2023)

Solution

By equation $1$ and $3$

And $\begin{array}{c}y+2 z=8 \\ y=8-2 z \\ x=-2+z\end{array}$

Now putting in equation $2$

$\alpha(z-2)+\beta(-2 z+8)+7 z=3$

$\Rightarrow(\alpha-2 \beta+7) z=2 \alpha-8 \beta+3$

So equations have unique solution if $\alpha-2 \beta+7 \neq 0$

And equations have no solution if $\alpha-2 \beta+7=0$ and $2 \alpha-8 \beta+3 \neq 0$

And equations have infinite solution if $\alpha-2 \beta+7=0$ and $2 \alpha-8 \beta+3=0$

Standard 12

Mathematics

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निम्नलिखित प्रश्न में दी गई समीकरण निकायों का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए :

$x+y+z=1$ ; $2 x+3 y+2 z=2$ ; $a x+a y+2 a z=4$

medium

निम्नलिखित समीकरण निकाय

$ 3 x-2 y+3 z =8 \,;\,2 x+y-z =1 \,;\,4 x-3 y+2 z =4$

को आव्यूह विधि से हल कीजिए।

hard

$k$ के उन मानों की संख्या जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय $( k +2) x+10 y= k$; $k x+( k +3) y= k -1$ का कोई हल नहीं है

hard

(JEE MAIN-2018)

माना $\lambda$ के मानों, जिनके लिए समीकरण निकाय

$6 \lambda x-3 y+3 z=4 \lambda^2$

$2 x+6 \lambda y+4 z=1,$

$3 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}+3 \lambda \mathrm{z}=\lambda$ का कोई हल नहीं है, का समुच्चय $\mathrm{S}$ है, तो $12 \sum_{\lambda \in \mathrm{S}}|\lambda|$ बराबर है___________|

normal

(JEE MAIN-2023)

माना कि $a, \lambda, \mu \in R$ है। इन रैखिक समीकरणों के निकाय (system of linear equations) पर विचार कीजिए

$a x+2 y=\lambda$

$3 x-2 y=\mu$

निम्नलिखित में से कौन सा (से) कथन सही है (हैं)?

$(A)$ यदि $a=-3$, तब $\lambda$ और $\mu$ के सभी मानों के लिए निकाय के अनन्त (infinitely many) हल हैं

$(B)$ यदि $a \neq-3$, तब $\lambda$ और $\mu$ के सभी मानों के लिए निकाय का अद्वितीय (unique) हल है

$(C)$ यदि $\lambda+\mu=0$, तब $a=-3$ के लिए निकाय के अनन्त हल हैं

$(D)$ यदि $\lambda+\mu \neq 0$, तब $a=-3$ के लिए निकाय का कोई हल नहीं है

normal

(IIT-2016)