चित्र में कुछ एकविमीय स्थितिज ऊर्जा-फलनों के उदाहरण दिए गए हैं। कण की कुल ऊर्जा कोटि-अक्ष पर क्रॉस द्वारा निर्देशित की गई है। प्रत्येक स्थिति में, कोई ऐसे क्षेत्र बताइए, यदि कोई हैं तो, जिनमें दी गई ऊर्जा के लिए, कण को नहीं पाया जा सकता। इसके अतिरिक्त, कण की कुल न्यूनतम ऊर्जा भी निर्देशित कीजिए। कुछ ऐसे भौतिक संद्भो के विषय में सोचिए जिनके लिए ये स्थितिज ऊर्जा आकृतियाँ प्रासंगिक हों।
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$x>a ; 0$
Total energy of a system is given by the relation
$E= P.E. + K . E$
$- K.E. =E- P.E.$
Kinetic energy of a body is a positive quantity. It cannot be negative. Therefore, the particle will not exist in a region where K.E. becomes negative.
In the given case, the potential energy ( $V_{0}$ ) of the particle becomes greater than total energy ( $E$ ) for $x>a$. Hence, kinetic energy becomes negative in this region. Therefore, the particle will not exist is this region. The minimum total energy of the particle is zero.
All regions
In the given case, the potential energy $\left(V_{0}\right)$ is greater than total energy $(E)$ in all regions. Hence, the particle will not exist in this region.
$x>a$ and $x < b ;-V_{1}$
In the given case, the condition regarding the positivity of K.E. is satisfied only in the region between $x>a$ and $x < b$
The minimum potential energy in this case is $-V_{1} .$ Therfore, $K.E. =E-\left(-V_{1}\right)=E+V_{1}$ Therefore, for the positivity of the kinetic energy, the totaol energy of the particle must be greater than $-V_{1} .$ So, the minimum total energy the particle must have is $-V_{1}$
$-\frac{b}{2} < x < \frac{a}{2} ; \;\;\frac{a}{2} < x < \frac{b}{2} ;-V_{1}$
In the given case, the potential energy ( $V_{0}$ ) of the particle becomes greater than the total energy $(E)$ for $-\frac{b}{2} < x < \frac{b}{2}$ and $-\frac{a}{2} < x < \frac{a}{2}$. Therefore, the particle will not exist in these regions.
The minimum potential energy in this case is $-V_{1} .$ Therfore, $K.E. =E-\left(-V_{1}\right)=E+V_{1}$ Therefore, for the positivity of the kinetic energy, the totaol energy of the particle must be greater than $-V_{1} .$ So, the minimum total energy the particle must have is $-V_{1} .$
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एक तार जो एक छोटे मोती के मध्य में स्थित छिद्र से गुजरता है, को एक चतुर्थांश वृत्त के अनुरूप मोड़ा गया है। तार को भूमि पर ऊर्र्व तल में स्थित किया गया है जैसा चित्र में दर्शाया गया है। मोती को तार के ऊपरी सिरे से छोड़ा जाता है, जिससे यह तार के अनुदिश बिना किसी घर्षण के सरकता है। जब मोती $A$ से $B$ तक सरकता है, तब इसके द्वारा तार पर लगने वाला बल है
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- [IIT 2014]
$M$ द्रव्यमान का एक अंतरिक्ष यान $v$ वेग से गति कर रहा है। यह अचानक समान द्रव्यमान $m$ के दो टुकड़ों में टूट जाता है। विस्फोट के पश्चात् $ m$ द्रव्यमान का एक भाग स्थिर हो जाता है। यान के दूसरे भाग का वेग होगा
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एक द्रव्यमानरहित स्प्रिंग से जुड़े एक ही द्रव्यमान $m$ के दो कण, $1$ और $2$ , चित्रानुसार एक घर्षण रहित समतल पर हैं। प्रारंभ में, ये दोनों कण, जिनका द्रव्यमान केंद्र $x_0$ पर है, आयाम $a$ तथा कोणीय आवृति $\omega$ से दोलन कर रहे हैं| अतः, समय $t$ पर उनकी स्थितियां, क्रमशः, $x_1(t)=\left(x_0+d\right)+a \sin \omega t$ और $x_2(t)=\left(x_0-d\right)-a \sin \omega t$ हैं, जहां $d>2 a$ है। द्रव्यमान $m$ का एक कण $3$ , चाल $u_0=a \omega / 2$ से इस निकाय की तरफ चलते हुए समय $t_0$ पर कण $2$ से तात्क्षणिक प्रत्यास्थ संघट्ट (elastic collision) करता है| अंततः, कणों $1$ व $2$ का द्रव्यमान-केंद्र चाल $v_{ cm }$ से चलता है और ये कण आयाम $b$ तथा उसी कोणीय आवृति $\omega$ से दोलन करते हैं|
$1.$ यदि संघट्ट, समय $t_0=0$ पर होता है तो $v_{ cm } /(a \omega)$ का मान ........... होगा|
$2.$ यदि संघट्ट, समय $t_0=\pi /(2 \omega)$ पर होता है तो $4 b^2 / a^2$ का मान ................. होगा|
इस प्रश्न के उतर दीजिये $1$ ओर $2.$
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- [IIT 2024]
रेखीय सरल आवर्त गति कर रहे किसी कण का स्थितिज ऊर्जा फलन $V(x)=k x^{2} / 2$ है, जहां $k$ दोलक का बल नियतांक है । $k=0.5$ $N m ^{-1}$ के लिए $V(x)$ व $x$ के मध्य ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। यह दिखाइए कि इस विभव के अंतर्गत गतिमान कुल $1 \,J$ ऊर्जा वाले कण को अवश्य ही 'वापिस आना' चाहिए जब यह $x=\pm 2 m$ पर पहुंचता है।
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दो घर्षणरहित आनत पथ, जिनमें से एक की ढाल अधिक है और दूसरे की ढाल कम है, बिंदु $A$ पर मिलते हैं। बिंदु $A$ से प्रत्येक पथ पर एक-एक पत्थर को विरामावस्था से नीचे सरकाया जाता है (चित्र)। क्या ये पत्थर एक ही समय पर नीचे पहुंचेंगे ? क्या वे वहां एक ही चाल से पहुंचेंगे? व्याख्या कीजिए। यदि $\theta_{1}=30^{\circ}, \theta_{2}=60^{\circ}$ और $h=10\, m$ दिया है तो दोनों पत्थरों की चाल एवं उनके द्वारा नीचे पहुंचने में लिए गए समय क्या हैं ?
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