संख्या $12233$ के अंकों से $6$ अंकों की कितनी संख्याऐं बनायी जा सकती हैं  

${ }^{n-1} C_r=\left(k^2-8\right){ }^n C_{r+1}$ है यदि और केवल यदि :

$25$ विद्यार्थियो की एक कक्षा से, $10$ का चयन एक भ्रमण-दल के लिए किया जाता है। $3$ विद्यार्थी ऐसे हैं, जिन्होंने यह निर्णय लिया है कि या तो वे तीनों दल में शमिल होंगे या उनमें से कोई भी दल में शामिल नहीं होगा। भ्रमण-दल का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है ?

$a, b, c$ से बनने वाले उन $4$ अक्षरों के शब्दों की कुल संख्या कितनी होगी जिनमें ये तीनों अक्षर जरूर हों ?

$9$ उपलब्ध पाठ्यक्रमों में से, एक विद्यार्थी $5$ पाठ्यक्रमों का चयन कितने प्रकार से कर सकता है, यदि प्रत्येक विद्यार्थी के लिए $2$ विशिष्ट पाठ्यक्रम अनिवार्य हैं ?

$5$ लड़कियों और $3$ लड़कों को एक पंक्ति में कितने प्रकार से बैठा सकते हैं, जब कि कोई भी दो लड़के एक साथ नहीं बैठते हैं ?