यदि $A$ तथा $G$ दो धनात्मक संख्याओं के बीच क्रमश: समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य हों, तो सिद्ध कीजिए कि संख्याएँ $A \pm \sqrt{( A + G )( A - G )}$ हैं।
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It is given that $A$ and $G$ are $A . M .$ and $G . M .$ between two positive numbers.
Let these two positive numbers be $a$ and $b$
$\therefore A M=A=\frac{a+b}{2}$ .........$(1)$
$G M=G=\sqrt{a b}$ ........$(2)$
From $(1)$ and $(2),$ we obtain
$a+b=2 A$ ..........$(3)$
$a b=G^{2}$ ........$(4)$
Substituting the value of $a$ and $b$ from $(3)$ and $(4)$ in the identity
$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b$
We obtain
$(a-b)^{2}=4 A^{2}-4 G^{2}=4\left(A^{2}-G^{2}\right)$
$(a-b)^{2}=4(A+G)(A-G)$
$(a-b)=2 \sqrt{(A+G)(A-G)}$ .........$(5)$
From $(3)$ and $(5),$ we obtain
$2 a=2 A+2 \sqrt{(A+G)(A-G)}$
$\Rightarrow a=A+\sqrt{(A+G)(A-G)}$
Substituting the value of $a$ in $(3),$ we obtain
$b=2 A-A-\sqrt{(A+G)(A-G)}=A-\sqrt{(A+G)(A-G)}$
Thus, the two numbers are $A \pm \sqrt{(A+G)(A-G)}$
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