यदि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं तथा $a^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{1}{y}}=c^{\frac{1}{z}}$ हैं तो सिद्ध कीजिए $x, y, z$ समांतर श्रेणी में हैं।

माना कि $i=1,2, \ldots, 101$ के लिए $b_i>1$ है। मान लीजिए कि $\log _e b_1, \log _e b_2, \ldots, \log _e b_{101}$ सार्वअंतर (common difference) $\log _e 2$ वाली समांतर श्रेणी ($A.P$.) में हैं। मान लीजिये कि $a_1, a_2, \ldots, a_{101}$ समांतर श्रेणी में इस प्रकार हैं कि $a_1=b_1$ तथा $a_{51}=b_{51}$. यदि $t=b_1+b_2+\cdots+b_{51}$ तथा $s=a_1+a_2+\cdots+a_{51}$ हैं, तब

यदि $p, q, r$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं तथा समीकरणों $p x^{2}+2 q x+r=0$ और $d x^{2}+2 e x+f=0$ एक उभयनिष्ठ मूल रखते हों, तो दर्शाइए कि $\frac{d}{p}, \frac{e}{q}, \frac{f}{r}$ समांतर श्रेणी में हैं।

माना $\frac{1}{16}, a$ तथा $b$ G.P. में है तथा $\frac{1}{ a }, \frac{1}{ b }, 6 \, A.P.$ में है, जहाँ $a , b >0$ है। तो $72( a + b )$ बराबर है ........ |

यदि $a,\,b,\,c,\,d$ धनात्मक वास्तविक संख्यायें इस प्रकार हैं कि $a + b + c + d$$ = 2,$ तब $M = (a + b)(c + d)$ निम्न संबंध को संतुष्ट करता है   

किसी गुणोत्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पदों का योग $14$ है। प्रथम तथा द्वितीय पद में $1$ जोड़ने तथा तृतीय पद में से एक घटाने पर नये पद समांतर श्रेणी बनाते हैं, तो मूल पदों में से न्यूनतम पद होगा