यदि $a, b, c$ समांतर श्रेढ़ी में हों तो सारणिक

$\left|\begin{array}{lll}x+2 & x+3 & x+2 a \\ x+3 & x+4 & x+2 b \\ x+4 & x+5 & x+2 c\end{array}\right|$ का मान होगा|:

माना कि $z=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}$ है, जहाँ $i=\sqrt{-1}$ और $r, s \in\{1,2,3\}$ हैं। माना कि $P=\left[\begin{array}{cc}(-z)^r & z^{2 s} \\ z^{2 s} & z^r\end{array}\right]$ और $I$ दो कोटि (order $2$) का तत्समक आव्यूह (identity matrix) है। तब वे सभी क्रमित युग्म (ordered pairs) $(r, s)$, जिनके लिए $P^2=-I$ है, की कुल संख्या है

$\alpha$ के निम्नलिखित मानों में कौन सा (से) मान समीकरण

$\left|\begin{array}{lll}(1+\alpha)^2 & (1+2 \alpha)^2 & (1+3 \alpha)^2 \\ (2+\alpha)^2 & (2+2 \alpha)^2 & (2+3 \alpha)^2 \\ (3+\alpha)^2 & (3+2 \alpha)^2 & (3+3 \alpha)^2\end{array}\right|=-648 \alpha$ ?

$(A)$ $-4$ $(B)$ $9$ $(C)$ $-9$ $(D)$ $4$

सारणिकों के गुणधर्मो का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए :

$\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+p x^{3} \\ y & y^{2} & 1+p y^{3} \\ z & z^{2} & 1+p z^{3}\end{array}\right|=(1+p x y z)(x-y)(y-z)(z-x)$

यदि $ a, b, c $ सभी भिन्न-भिन्न हैं और $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{{a^3}}&{{a^4} - 1}\\b&{{b^3}}&{{b^4} - 1}\\c&{{c^3}}&{{c^4} - 1}\end{array}\,} \right|$ = $ 0$ ,तो $abc(ab + bc + ca)$ का मान है           

यदि $a,b,c$ धनात्मक पूर्णांक हैं, तो सारणिक $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + x}&{ab}&{ac}\\{ab}&{{b^2} + x}&{bc}\\{ac}&{bc}&{{c^2} + x}\end{array}\,} \right|$ विभाज्य है