सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :
$\left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}-b^{2} & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^{2}+b^{2} & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|=\left(1+a^{2}+b^{2}\right)^{3}$
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$\left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}-b^{2} & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^{2}+b^{2} & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|=\left(1+a^{2}+b^{2}\right)^{3}$
$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}-b^{2} & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^{2}+b^{2} & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
Applying $R_{1} \rightarrow R_{1}+b R_{3}$ and $R_{2} \rightarrow R_{2}-a R_{3},$ we have:
$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}+b^{2} & 0 & -b\left(1+a^{2}+b^{2}\right) \\ 0 & 1+a^{2}+b^{2} & a\left(1+a^{2}+b^{2}\right) \\ 2 b & -2 a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
$=\left(1+a^{2}+b^{2}\right)\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & -b \\ 0 & 1 & a \\ 2 b & -2 a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
Expanding along $R_{1},$ we have:
$\Delta=\left(1+a^{2}+b^{2}\right)^{2}\left[(1)\left|\begin{array}{cc}1 & a \\ -2 a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|-b\left|\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 2 b & -2 a\end{array}\right|\right]$
$=\left(1+a^{2}+b^{2}\right)^{2}\left[1-a^{2}-b^{2}+2 a^{2}-b(-2 b)\right]$
$=\left(1+a^{2}+b^{2}\right)^{2}\left(1+a^{2}+b^{2}\right)$
$=\left(1+a^{2}+b^{2}\right)^{3}$
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$\left|\begin{array}{ccc}-a^{2} & a b & a c \\ b a & -b^{2} & b c \\ c a & c b & -c^{2}\end{array}\right|=4 a^{2} b^{2} c^{2}$
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यदि $a \neq 0$ हो तो समीकरण $\left|\begin{array}{ccc}x+a & x & x \\ x & x+a & x \\ x & x & x+a\end{array}\right|=0$ को हल कीजिए।
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$\left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta\end{array}\right|=(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+\gamma)$
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$\left|\begin{array}{ccc}1 & x & y \\ 1 & x+y & y \\ 1 & x & x+y\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
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यदि ${a^2} + {b^2} + {c^2} = - 2$ तथा $f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {a^2}x}&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{1 + {b^2}x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{(1 + {b^2})x}&{1 + {c^2}x}\end{array}} \right|$ तो बहुपद $f(x)$ की घात होगी
यदि ${a^2} + {b^2} + {c^2} = - 2$ तथा $f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {a^2}x}&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{1 + {b^2}x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{(1 + {b^2})x}&{1 + {c^2}x}\end{array}} \right|$ तो बहुपद $f(x)$ की घात होगी
- [AIEEE 2005]