જો $a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો સાબિત કરો કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
જો $a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો સાબિત કરો કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
It is given that $a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ are in $A.P.$
$\therefore b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)-a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)-b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)$
$\Rightarrow \frac{b(a+c)}{a c}-\frac{a(b+c)}{b c}=\frac{c(a+b)}{a b}-\frac{b(a+c)}{a c}$
$\Rightarrow \frac{b^{2} a+b^{2} c-a^{2} b-a^{2} c}{a b c}=\frac{c^{2} a+c^{2} b-b^{2} a-b^{2} c}{a b c}$
$\Rightarrow b^{2} a-a^{2} b+b^{2} c-a^{2} c=c^{2} a-b^{2} a+c^{2} b-b^{2} c$
$\Rightarrow a b(b-a)+c\left(b^{2}-a^{2}\right)=a\left(c^{2}-b^{2}\right)+b c(c-b)$
$\Rightarrow a b(b-a)+c(b-a)(b+a)=a(c-b)(c+b)+b c(c-b)$
$\Rightarrow(b-a)(a b+c b+c a)=(c-b)(a c+a b+b c)$
$\Rightarrow b-a=c-b$
Thus, $a, b$ and $c$ are in $A.P.$
Similar Questions
જો એક સમાંતર શ્રેણી માટે $S_{2n} = 2S_n$ હોય, તો $S_{3n}/ S_n = …….$
જો એક સમાંતર શ્રેણી માટે $S_{2n} = 2S_n$ હોય, તો $S_{3n}/ S_n = …….$
જો બહૂકોણનો અંતર્ગત ખૂણાઓ સમાંતર શ્રેણીમાંં હોય અને નાનો ખૂણો ${120^o}$ છે,અને સામાન્ય તફાવત $5^o$ નો હોય તો બહૂકોણની બાજુની સંખ્યા મેળવો.
જો બહૂકોણનો અંતર્ગત ખૂણાઓ સમાંતર શ્રેણીમાંં હોય અને નાનો ખૂણો ${120^o}$ છે,અને સામાન્ય તફાવત $5^o$ નો હોય તો બહૂકોણની બાજુની સંખ્યા મેળવો.
- [IIT 1980]
ધારોકે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ ત્રણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ધારોકે $f(x)=\alpha x^{5}+\beta x^{3}+\gamma x, x \in R$ અને $g: R \rightarrow R$ એવું છે કે જેથી પ્રત્યેક $x \in R$ માટે $g(f(x))=x$ થાય. ને $a _{1}, a _{2}, a _{3}, \ldots, a _{ n }$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને તેનો મધ્યક શૂન્ય હોય, તો $f\left(g\left(\frac{1}{ n } \sum_{i=1}^{ n } f\left( a _{i}\right)\right)\right)$ ની કિંમત .............. છે.
ધારોકે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ ત્રણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ધારોકે $f(x)=\alpha x^{5}+\beta x^{3}+\gamma x, x \in R$ અને $g: R \rightarrow R$ એવું છે કે જેથી પ્રત્યેક $x \in R$ માટે $g(f(x))=x$ થાય. ને $a _{1}, a _{2}, a _{3}, \ldots, a _{ n }$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને તેનો મધ્યક શૂન્ય હોય, તો $f\left(g\left(\frac{1}{ n } \sum_{i=1}^{ n } f\left( a _{i}\right)\right)\right)$ ની કિંમત .............. છે.
- [JEE MAIN 2022]
સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો $56$ છે. તેનાં છેલ્લાં ચાર પદોનો સરવાળો $112$ છે. તેનું પ્રથમ પદ $11$ છે, તો પદોની સંખ્યા શોધો.
સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો $56$ છે. તેનાં છેલ્લાં ચાર પદોનો સરવાળો $112$ છે. તેનું પ્રથમ પદ $11$ છે, તો પદોની સંખ્યા શોધો.
શ્રેણી $3 +7 + 1 1 + 15+ ... ......$અને $1 +6+ 11 + 16+ ......$ના પ્રથમ $20$ સામાન્ય પદોનો સરવાળો મેળવો.
શ્રેણી $3 +7 + 1 1 + 15+ ... ......$અને $1 +6+ 11 + 16+ ......$ના પ્રથમ $20$ સામાન્ય પદોનો સરવાળો મેળવો.
- [JEE MAIN 2014]