જો $a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો સાબિત કરો કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

It is given that $a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ are in $A.P.$

$\therefore b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)-a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)-b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)$

$\Rightarrow \frac{b(a+c)}{a c}-\frac{a(b+c)}{b c}=\frac{c(a+b)}{a b}-\frac{b(a+c)}{a c}$

$\Rightarrow \frac{b^{2} a+b^{2} c-a^{2} b-a^{2} c}{a b c}=\frac{c^{2} a+c^{2} b-b^{2} a-b^{2} c}{a b c}$

$\Rightarrow b^{2} a-a^{2} b+b^{2} c-a^{2} c=c^{2} a-b^{2} a+c^{2} b-b^{2} c$

$\Rightarrow a b(b-a)+c\left(b^{2}-a^{2}\right)=a\left(c^{2}-b^{2}\right)+b c(c-b)$

$\Rightarrow a b(b-a)+c(b-a)(b+a)=a(c-b)(c+b)+b c(c-b)$

$\Rightarrow(b-a)(a b+c b+c a)=(c-b)(a c+a b+b c)$

$\Rightarrow b-a=c-b$

Thus, $a, b$ and $c$ are in $A.P.$

Similar Questions

જો $a_1, a_2 , a_3,.....$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે કે જેથી $\frac{{{a_1} + {a_2} + .... + {a_p}}}{{{a_1} + {a_2} + {a_3} + ..... + {a_q}}} = \frac{{{p^3}}}{{{q^3}}};p \ne q$ તો  $\frac{{{a_6}}}{{{a_{21}}}}$ મેળવો.

  • [JEE MAIN 2013]

શ્રેણી $a_{n}$ નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત છે :

${a_1} = 1,$ $n\, \ge \,2$ માટે ${a_n} = {a_{n - 1}} + 2.$

આ શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદ લખો અને સંબંધિત શ્રેઢી લખો : 

જો $a, b$ અને $c$ એ સમાંતર શ્રેણીનાં અનુક્રમે પ્રથમ, દ્વિતીય અને અંતિમ પદ હોય, તો આ પદની કુલ સંખ્યા...... છે.

જો શ્રેણીના $n $ પદોનો સરવાળો $3n^2 + 4n$ ; થાય, તો તે કઈ શ્રેણી હોય ?

$1$ થી $2001$ સુધીના અયુગ્મ પૂર્ણાકોનો સરવાળો શોધો.