$1$ અને $31$ વચ્ચે જ સંખ્યાઓ એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે જેથી બનતી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી હોય અને $7$ મી અને $(m-1)$ મી સંખ્યાનો ગુણોત્તર $5 : 9$ હોય, તો $m$ નું મૂલ્ય શોધો.
Let $A_{1}, A_{2}, \ldots \ldots A_{m}$ be m numbers such that $1, A_{1}, A_{2}, \ldots \ldots A_{m}, 31$ is an $A.P.$
Here, $a=1, b=31, n=m+2$
$\therefore 31=1+(m+2-1)(d)$
$\Rightarrow 30=(m+1) d$
$\Rightarrow d=\frac{30}{m+1}$ ...........$(1)$
$A_{1}=a+d$
$A_{2}=a+2 d$
$A_{3}=a+3 d$
$\therefore A_{7}=a+7 d$
$A_{m-1}=a+(m-1) d$
According to the given condition,
$\frac{a+7 d}{a+(m-1) d}=\frac{5}{9}$
$\Rightarrow \frac{1+7\left(\frac{30}{(m+1)}\right)}{1+(m-1)\left(\frac{30}{m+1}\right)}=\frac{5}{9}$ [ From $(1)$ ]
$\Rightarrow \frac{m+1+7(30)}{m+1+30(m-1)}=\frac{5}{9}$
$\Rightarrow \frac{m+1+210}{m+1+30 m-30}=\frac{5}{9}$
$\Rightarrow \frac{m+211}{31 m-29}=\frac{5}{9}$
$\Rightarrow 9 m+1899=155 m-145$
$\Rightarrow 155 m-9 m=1899+145$
$\Rightarrow 146 m=2044$
$\Rightarrow m=14$
Thus, the value of $m$ is $14$
અહી $S_{n}$ એ સમાંતર શ્રેણીના $n$- નો સરવાળો દર્શાવે છે. જો $S_{10}=530, S_{5}=140$ તો $\mathrm{S}_{20}-\mathrm{S}_{6}$ ની કિમંત મેળવો.
સમાંતર શ્રેણીમાં $T_m = n$ અને $T_n = m$ હોય, તો $T_p$ = ……
શ્રેણી $3 +7 + 1 1 + 15+ ... ......$અને $1 +6+ 11 + 16+ ......$ના પ્રથમ $20$ સામાન્ય પદોનો સરવાળો મેળવો.
જો $\tan \left(\frac{\pi}{9}\right), x, \tan \left(\frac{7 \pi}{18}\right)$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે અને $\tan \left(\frac{\pi}{9}\right), y, \tan \left(\frac{5 \pi}{18}\right)$ એ પણ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો $|x-2 y|$ ની કિમંત મેળવો.
જો સમાંતર શ્રેણીનું $p, q$ અને $r$ મું પદ અનુક્રમે $a, b$ અને $c$ હોય, તો $[a (q - r) + b(r - p) + c(p -q)]=.…….$