यदि $a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ समांतर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं।
यदि $a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ समांतर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं।
It is given that $a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ are in $A.P.$
$\therefore b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)-a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)-b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)$
$\Rightarrow \frac{b(a+c)}{a c}-\frac{a(b+c)}{b c}=\frac{c(a+b)}{a b}-\frac{b(a+c)}{a c}$
$\Rightarrow \frac{b^{2} a+b^{2} c-a^{2} b-a^{2} c}{a b c}=\frac{c^{2} a+c^{2} b-b^{2} a-b^{2} c}{a b c}$
$\Rightarrow b^{2} a-a^{2} b+b^{2} c-a^{2} c=c^{2} a-b^{2} a+c^{2} b-b^{2} c$
$\Rightarrow a b(b-a)+c\left(b^{2}-a^{2}\right)=a\left(c^{2}-b^{2}\right)+b c(c-b)$
$\Rightarrow a b(b-a)+c(b-a)(b+a)=a(c-b)(c+b)+b c(c-b)$
$\Rightarrow(b-a)(a b+c b+c a)=(c-b)(a c+a b+b c)$
$\Rightarrow b-a=c-b$
Thus, $a, b$ and $c$ are in $A.P.$
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माना $a, b, c$ एक समान्तर श्रेढ़ी में है। माना त्रिभुज जिसके शीर्ष बिन्दु $( a , c ),(2, b )$ तथा $( a , b )$ है, का केन्द्रक $\left(\frac{10}{3}, \frac{7}{3}\right)$ है। यदि समीकरण, $a x ^{2}+ bx +1=0$ के मूल $\alpha$ तथा $\beta$ है, तो $\alpha^{2}+\beta^{2}-\alpha \beta$ का मान है
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श्रेढ़ी $20,19 \frac{1}{4}, 18 \frac{1}{2}, 17 \frac{3}{4}, \ldots,-129 \frac{1}{4}$ का अन्त से $20^ {वा }$ पद है :-
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माना श्रेणी ${a_1},{a_2},{a_3},.............{a_{2n}}$ एक समान्तर श्रेणी है, तब $a_1^2 - a_2^2 + a_3^3 - ......... + a_{2n - 1}^2 - a_{2n}^2 = $
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