$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{a – x}&c&b\\c&{b – x}&a\\b&a&{c – x}\end{array}\,} \right|\, = 0$

$ \Rightarrow $  $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + c – x}&c&b\\{a + b + c – x}&{b – x}&a\\{a + b + c – x}&a&{c – x}\end{array}\,} \right| = 0$

$ \Rightarrow $ $(x – \sum a )\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&c&b\\1&{b – x}&a\\1&a&{c – x}\end{array}\,} \right| = 0$ $ \Rightarrow $ $x = \sum {a = 0} $ ,  (संकल्पना से)

या $1\{ (b – x)\,(c – x) – {a^2}\}  – c\{ c – x – a\}  + b\{ a – b + x\}  = 0,$ (सारणिक का प्रसार करने पर)

या ${x^2} – ({a^2} + {b^2} + {c^2}) + (ab + bc + ca) = 0$

या  ${x^2} – \left( {\sum {{a^2}} } \right) – \frac{1}{2}\,\left( {\sum {{a^2}} } \right) = 0$

$\left\{ {\because \,a + b + c = 0 \Rightarrow {{(a + b + c)}^2} = 0} \right.$

$ \Rightarrow $ $\left. {\sum {{a^2}}  + 2\sum {ab}  = 0 \Rightarrow \sum {ab}  =  – \frac{1}{2}\sum {{a^2}} } \right\}$

  या $x =  \pm \sqrt {\frac{3}{2}\sum {{a^2}} } $

$\therefore $ अत: हल है, $x = 0$ या $ \pm \sqrt {\frac{3}{2}\sum {{a^2}} } $.

ट्रिक: $a = 1,\,b =  – 1$ और $c = 0$ रखने पर ये प्रतिबन्ध $a + b + c = 0$ को सन्तुष्ट करते हैं।

अब, $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{1 – x}&0&{ – 1}\\0&{ – 1 – x}&1\\{ – 1}&1&{ – x}\end{array}\,} \right| = 0$

$ \Rightarrow $ $(1 – x)\,\{ x(1 + x) – 1\}  + 1(1 + x) = 0$

$ \Rightarrow $ $(1 – x)\,\{ {x^2} + x – 1\}  + x + 1 = 0$

$ \Rightarrow $$x({x^2} – 3) = 0$

अब इन्हें विकल्पों में रखने पर विकल्प  $ (c) $ प्राप्त होता है, जिससे समान मान अर्थात् $0$ , $ \pm \sqrt 3 $ प्राप्त होता है।