$\Delta  \equiv \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&{a\alpha  + b}\\b&c&{b\alpha  + c}\\{a\alpha  + b}&{b\alpha  + c}&0\end{array}\,} \right|$

= $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&{a\alpha  + b}\\b&c&{b\alpha  + c}\\0&0&{ – (a{\alpha ^2} + 2b\alpha  + c)}\end{array}\,} \right|$, ${R_3} \to {R_3} – \alpha {R_1} – {R_2}$ द्वारा

= $a\,\{  – c(a{\alpha ^2} + 2b\alpha  + c) – 0\}  – b\{  – b(a{\alpha ^2} + 2b\alpha  + c) – 0\} $,(${C_1}$ के अनुदिश प्रसार करने पर)

$ = ({b^2} – ac)\,(a{\alpha ^2} + 2b\alpha  + c)$अत:, $\Delta  = 0$, यदि या तो ${b^2} – ac = 0$या $a{\alpha ^2} + 2b\alpha  + c = 0$

अर्थात्, या तो $ 0$ ..$a,b,c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं

या $a{\alpha ^2} + 2b\alpha  + c = 0$.

  ट्रिक: $\alpha  = 0$ रखने पर

,$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&b\\b&c&c\\b&c&0\end{array}\,} \right|\, = \,\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&0\\b&c&0\\b&c&{ – c}\end{array}\,} \right|\, = \, – c(ac – {b^2}) = 0$

अत: अभीष्ट परिणाम प्राप्त होता है।