જો a > 0 અને વિવેચક a{x^2} + 2bx + c < 0 છે, તો left| {,begin{ar

English

Gujarati

Hindi

3 and 4 .Determinants and Matrices

hard

જો $a > 0$ અને વિવેચક $a{x^2} + 2bx + c < 0 $ છે, તો $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&{ax + b}\\b&c&{bx + c}\\{ax + b}&{bx + c}&0\end{array}\,} \right|$ = . . .

A

ધન

B

$(ac - {b^2})(a{x^2} + 2bx + c)$

C

ઋણ

D

$0$

(AIEEE-2002)

Solution

(c) Let $\Delta = \,\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&{ax + b}\\b&c&{bx + c}\\{ax + b}&{bx + c}&0\end{array}\,} \right|$

Applying ${R_3} \to {R_3} – x{R_1} – {R_2};$ we get

$\Delta = \,\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&{ax + b}\\b&c&{bx + c}\\0&0&{ – (a{x^2} + 2bx + c)}\end{array}} \right|\,$

$\Delta = ({b^2} – ac)\,(a{x^2} + 2bx + c)$

Now, ${b^2} – ac < 0$ and $a > 0$

==> Discriminant of $a{x^2} + 2bx + c$ is -ve and $a > 0$

==> $(a{x^2} + 2bx + c) > 0$ for all $x \in R$

==> $\Delta = ({b^2} – ac)\,(a{x^2} + 2bx + c) < 0$, i.e.-ve.

Standard 12

Mathematics

Share

Similar Questions

ધારો કે $D = \left| {\,\begin{array}{{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}\end{array}\,} \right|$ અને $D' = \left| {\,\begin{array}{{20}{c}}{{a_1} + p{b_1}}&{{b_1} + q{c_1}}&{{c_1} + r{a_1}}\\{{a_2} + p{b_2}}&{{b_2} + q{c_2}}&{{c_2} + r{a_2}}\\{{a_3} + p{b_3}}&{{b_3} + q{c_3}}&{{c_3} + r{a_3}}\end{array}\,} \right|$, તો . . .

hard

જો $a,b,c$ અને $d$ એ સંકર સંખ્યા હોય , તો નિશ્રાયક $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}2&{a + b + c + d}&{ab + cd}\\{a + b + c + d}&{2(a + b)(c + d)}&{ab(c + d) + cd(a + b)}\\{ab + cd}&{ab(c + d) + cd(a + d)}&{2abcd}\end{array}} \right|$ એ. . . .. પર આધારિત છે.

hard

સમીકરણ $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&4&{20}\\1&{ – 2}&5\\1&{2x}&{5{x^2}}\end{array}\,} \right| = 0$ ના બીજ મેળવો.

medium

(IIT-1987)

સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x+2 y+3 z=1$ ; $3 x+4 y+5 z=\mu$ ; $4 x+4 y+4 z=\delta$ એ સુસંગત ન હોય તો $(\mu, \delta)$ ની કર્મયુક્ત જોડ મેળવો.

hard

(JEE MAIN-2020)

સમીકરણ સંહતિઓ $4 x+\lambda y+2 z=0$ ; $2 x-y+z=0$ ; $\mu x +2 y +3 z =0, \lambda, \mu \in R$ ને શૂન્યતર ઉકેલ હોય તો આપેલ પૈકી ક્યૂ સત્ય છે ?

hard

(JEE MAIN-2021)