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यदि $a > 0$ और $a{x^2} + 2bx + c$ का विविक्तिकर ऋणात्मक है, तब $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&{ax + b}\\b&c&{bx + c}\\{ax + b}&{bx + c}&0\end{array}\,} \right|$ का मान होगा
धनात्मक
$(ac - {b^2})(a{x^2} + 2bx + c)$
ऋणात्मक
$0$
Solution
माना $\Delta = \,\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&{ax + b}\\b&c&{bx + c}\\{ax + b}&{bx + c}&0\end{array}\,} \right|$
संक्रिया ${R_3} \to {R_3} – x{R_1} – {R_2}$ के प्रयोग से,
$\Delta = \,\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&{ax + b}\\b&c&{bx + c}\\0&0&{ – (a{x^2} + 2bx + c)}\end{array}} \right|\,$
$\Delta = ({b^2} – ac)\,(a{x^2} + 2bx + c)$
अब, ${b^2} – ac < 0$ तथा $a > 0$
==>$a{x^2} + 2bx + c$ का विविक्तकर ऋणात्मक है तथा $a > 0$
==>$(a{x^2} + 2bx + c) > 0$, $x \in R$ के सभी मानों के लिये
==>$\Delta = ({b^2} – ac)\,(a{x^2} + 2bx + c) < 0$, अर्थात् ऋणात्मक।
