माना एक $A.P.$ के किसी भी तीन भिन्न क्रमागत पदों $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ के लिए रेखाएं $\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{c}=0$ एक बिंदु $\mathrm{P}$ पर संगामी हैं तथा बिंदु $\mathrm{Q}(\alpha, \beta)$ के लिए समीकरण निकांय $x+y+z=6,2 x+5 y+\alpha z=\beta$ तथा $\mathrm{x}+2 \mathrm{y}+3 \mathrm{z}=4$, के अंतंत हल है। तो $(\mathrm{PQ})^2$ बराबर है ……….|

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{a – b}&{b – c}&{c – a}\\{x – y}&{y – z}&{z – x}\\{p – q}&{q – r}&{r – p}\end{array}\,} \right| = $

यदि $1,\omega ,{\omega ^2}$ इकाई के घनमूल हैं, तब $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{{\omega ^n}}&{{\omega ^{2n}}}\\{{\omega ^n}}&{{\omega ^{2n}}}&1\\{{\omega ^{2n}}}&1&{{\omega ^n}}\end{array}\,} \right|$ का मान होगा

समीकरण  $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&x\\{p + 1}&{p + 1}&{p + x}\\3&{x + 1}&{x + 2}\end{array}\,} \right| = 0$ के हल हैं

यदि रेखीय समीकरणों का निकाय

$2 x+3 y-z=-2$

$x+y+z=4$

$x-y+|\lambda| z=4 \lambda-4$

जहाँ $\lambda \in R$, का कोई हल ना हो, तब