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यदि $|{a_k}| < 1,{\lambda _k} \ge 0$ के लिए $k = 1,\,2,....n$ एवं ${\lambda _1} + {\lambda _2} + ... + {\lambda _n} = 1,$ तब $|{\lambda _1}{a_1} + {\lambda _2}{a_2} + .... + {\lambda _n}{a_n}|$ का मान है
$1$
$1$ से बड़ा
$0$
$1$ से छोटा
Solution
(d) $|{\lambda _1}{a_1} + {\lambda _2}{a_2} + ….. + {\lambda _n}{a_n}|$
$ \le |{\lambda _1}{a_1}| + |{\lambda _2}{a_2}| + ….. + |{\lambda _n}{a_n}|$
$ = |{\lambda _1}||{a_1}| + ….. + |{\lambda _n}||{a_n}|$
$ = {\lambda _1}|{a_1}| + ….. + {\lambda _n}|{a_n}|\,$[ प्रत्येक ${\lambda _k}_. \ge 0$ के लिए]
$ < {\lambda _1} + ….. + {\lambda _n}$
[ $|{a_k}| < $1 और अत: ${\lambda _k}|{a_k}| < {\lambda _k}$के लिये
अत: $|{\lambda _1}{a_1} + {\lambda _2}{a_2} + ….. + {\lambda _n}{a_n}| < 1$.इस प्रकार $|{\lambda _1}{a_1} + ….. + {\lambda _n}{a_n}| < 1$.
