જો ${\left( {{x^2} + \frac{1}{x}} \right)^m}$ ના વિસ્તરણમાં પ્રથમ,દ્રીતીય અને તૃતીય પદોનો સરવાળો $46$, હોય તો જે પદમાં $x$ ન હોય તેવા પદનો સહગુણક મેળવો 

 $\left(2 x^{3}+\frac{3}{x^{k}}\right)^{12}, x \neq 0$ નાં દ્રીપદી વિસ્તરણમાં અચળ પદ $2^{8} \cdot \ell$ હોય, જ્યાં $\ell$ અયુગ્મ સંખ્યા હોય તેવા ધનપુર્ણાક $k$ ની સંખ્યા............. છે

દ્રીપદી ${(1 + ax)^n}$ $(n \ne 0)$ ના વિસ્તરણમાં પ્રથમ ત્રણ પદો $1, 6x$ અને $16x^2$ હોય, તો $a$ અને $n$ ની કિમત અનુક્રમે . . . . થાય.

${\left( {\frac{{x + 1}}{{{x^{\frac{2}{3}}} - {x^{\frac{1}{3}}} + 1}} - \frac{{x - 1}}{{x - {x^{\frac{1}{2}}}}}} \right)^{10}}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{-5}$ નો સહગુણક મેળવો. જ્યાં $x \ne 0, 1$

$a$ ની કઈ કિમત માટે ${\left( {{x^2}\,\, + \,\,\frac{a}{{{x^3}}}} \right)^{10}}$ ના વિસ્તરણમાં $x^5$ અને $x^{15}$ નો સહગુણકો સમાન થાય ? 

$\left(\frac{\mathrm{x}}{\cos \theta}+\frac{1}{\mathrm{x} \sin \theta}\right)^{16}$ ના વિસ્તરણમાં જો $\frac{\pi}{8} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ હોય ત્યારે $\ell_{1}$ એ  $x$ થી સ્વતંત્ર ન્યૂનતમ પદ છે અને જ્યારે $\frac{\pi}{16} \leq \theta \leq \frac{\pi}{8} $ હોય ત્યારે  $\ell_{2}$ એ $x$ થી સ્વતંત્ર ન્યૂનતમ પદ છે તો $\ell_{2}: \ell_{1}$ ગુણોતર મેળવો.