यदि ${\left( {a{x^2} + \frac{1}{{bx}}} \right)^{11}}$ में ${x^7}$ का गुणांक, ${\left( {ax - \frac{1}{{b{x^2}}}} \right)^{11}}$ में ${x^{ - 7}}$ के गुणांक के समान हो, तब $ab =$

यदि $\left(\frac{\mathrm{x}^{\frac{5}{2}}}{2}-\frac{4}{\mathrm{x}^{\ell}}\right)^9$ के द्विपद प्रसार में अचर पद $-84$ है तथा $\mathrm{x}^{-3 \ell}$ का गुणांक $2^\alpha \beta$ है, जहाँ $\beta<0$ एक विषम संख्या है, तो $|\alpha \ell-\beta|$ बराबर है______________. 

$\left(x-\frac{3}{x^{2}}\right)^{m}, x \neq 0,$ जहाँ $m$ एक प्राकृत संख्या है, के प्रसार में पहले तीन पदों के गुणांकों का योग $559$ है। प्रसार में $x^{3}$ वाला पद ज्ञात कीजिए।

$k$ के धनात्मक पूर्णांक मानों की संख्या, ताकि $\left(2 x ^3+\frac{3}{ x ^{ k }}\right)^{12}, x \neq 0$ द्विपद प्रसार में अचर पद $2^8 . \ell$ हो जहाँ $\ell$ एक विषम पूर्णांक है, होगी -

यदि $\left(x+x^{\log _{2} x}\right)^{7}$ के प्रसार में चौथा पद $4480$ है, तो $x ( x \in N )$ का मान है

व्यंजक $(1+x)^{10}+x(1+x)^{9}+x^{2}(1+x)^{8}+\ldots+x^{10}$ में $x ^{7}$ का गुणांक है :