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यदि ${\left( {a{x^2} + \frac{1}{{bx}}} \right)^{11}}$ में ${x^7}$ का गुणांक, ${\left( {ax - \frac{1}{{b{x^2}}}} \right)^{11}}$ में ${x^{ - 7}}$ के गुणांक के समान हो, तब $ab =$
$1$
$1\over2$
$2$
$3$
Solution
${\left( {a{x^2} + \frac{1}{{bx}}} \right)^{11}}$ के प्रसार में व्यापक पद ${T_{r + 1}} = {\,^{11}}{C_r}{(a{x^2})^{11 – r}}{\left( {\frac{1}{{bx}}} \right)^r} = {\,^{\,11}}{C_r}{a^{11 – r}}\frac{1}{{{b^r}}}{x^{22 – 3r}}$
$x^7$ के लिए $22 -3r = 7$ ==> $r = 5$ एवं
$x^7$ का गुणांक =$^{11}{C_5}.{a^{11 – 5}}\frac{1}{{{b^5}}} = {\,^{11}}{C_5}\frac{{{a^6}}}{{{b^5}}}$
इसी प्रकार ${\left( {ax – \frac{1}{{b{x^2}}}} \right)^{11}}$ के प्रसार में व्यापक पद ${T_{r + 1}} = {\,^{11}}{C_r}{( – 1)^r}\frac{{{a^{11 – r}}}}{{{b^r}}}.{x^{11 – 3r}}$
$x^{-7}$ के लिए $11 -3r = -7$ ==> $r = 6$, एवं
${x^{ – 7}}$ का गुणांक $^{11}{C_6}\frac{{{a^5}}}{{{b^6}}} = {\,^{11}}{C_5}\frac{{{a^5}}}{{{b^6}}}$.
दिया है $^{11}{C_5}\frac{{{a^6}}}{{{b^5}}} = {\,^{11}}{C_5}\frac{{{a^5}}}{{{b^6}}} \Rightarrow ab = 1$.
