यदि फलन $f(x)=\log _e\left(\frac{2 x+3}{4 x^2+x-3}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{x+2}\right) $ का प्रांत $(\alpha, \beta]$ है, तो $5 \beta-4 \alpha$ का मान बराबर है
यदि फलन $f(x)=\log _e\left(\frac{2 x+3}{4 x^2+x-3}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{x+2}\right) $ का प्रांत $(\alpha, \beta]$ है, तो $5 \beta-4 \alpha$ का मान बराबर है
- [JEE MAIN 2024]
- A
$10$
- B
$12$
- C
$11$
- D
$9$
Similar Questions
एक फलन $\mathrm{f}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$, के लिए $\mathrm{f}(1)+2 \mathrm{f}(2)+3 \mathrm{f}(3)+\ldots+\mathrm{xf}(\mathrm{x})=\mathrm{x}(\mathrm{x}+1) \mathrm{f}(\mathrm{x}) ;$ $\mathrm{x} \geq 2$ तथा $\mathrm{f}(1)=1$ है तो $\frac{1}{\mathrm{f}(2022)}+\frac{1}{\mathrm{f}(2028)}$ बराबर है
एक फलन $\mathrm{f}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$, के लिए $\mathrm{f}(1)+2 \mathrm{f}(2)+3 \mathrm{f}(3)+\ldots+\mathrm{xf}(\mathrm{x})=\mathrm{x}(\mathrm{x}+1) \mathrm{f}(\mathrm{x}) ;$ $\mathrm{x} \geq 2$ तथा $\mathrm{f}(1)=1$ है तो $\frac{1}{\mathrm{f}(2022)}+\frac{1}{\mathrm{f}(2028)}$ बराबर है
- [JEE MAIN 2023]
मान लें कि $x \in R$ के लिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $f(x)=\sin ^{10} x\left(\cos ^8 x+\right.$ $\left.\cos ^4 x+\cos ^2 x+1\right)$. मान लें कि $S=\left\{\lambda \in R \mid\right.$ में एक बिंदु $c \in(0,2 \pi)$ है जिसके लिए $\left.f^{\prime}(c)=\lambda f(c)\right\}$. तब
मान लें कि $x \in R$ के लिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $f(x)=\sin ^{10} x\left(\cos ^8 x+\right.$ $\left.\cos ^4 x+\cos ^2 x+1\right)$. मान लें कि $S=\left\{\lambda \in R \mid\right.$ में एक बिंदु $c \in(0,2 \pi)$ है जिसके लिए $\left.f^{\prime}(c)=\lambda f(c)\right\}$. तब
- [KVPY 2020]
माना कि $E_1=\left\{x \in R : x \neq 1\right.$ और $\left.\frac{x}{x-1}>0\right\}$
और $E_2=\left\{x \in E_1: \sin ^{-1}\left(\log _e\left(\frac{x}{x-1}\right)\right)\right.$ एक वास्तविक संख्या (real number) है $\}$
(यहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (inverse trigonometric function) $\sin ^{-1} x,\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ में मान धारण करता है।)
माना कि फलन $f: E_1 \rightarrow R , f(x)=\log _e\left(\frac{x}{x-1}\right)$ के द्वारा परिभाषित है
और फलन $g: E_2 \rightarrow R , g(x)=\sin ^{-1}\left(\log _e\left(\frac{x}{x-1}\right)\right)$ के द्वारा परिभाषित है।
सूची $I$
सूची $II$
$P$ $f$ का परिसर (range) है
$1$ $\left(-\infty, \frac{1}{1- e }\right] \cup\left[\frac{ e }{ e -1}, \infty\right)$
$Q$ $g$ के परिसर में समाहित (contained) है
$2$ $(0,1)$
$R$ $f$ के प्रान्त (domain) में समाहित है
$3$ $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$
$S$ $g$ का प्रान्त है
$4$ $(-\infty, 0) \cup(0, \infty)$
$5$ $\left(-\infty, \frac{ e }{ e -1}\right]$
$6$ $(-\infty, 0) \cup\left(\frac{1}{2}, \frac{ e }{ e -1}\right]$
दिए हुए विकल्पों मे से सही विकल्प है:
माना कि $E_1=\left\{x \in R : x \neq 1\right.$ और $\left.\frac{x}{x-1}>0\right\}$
और $E_2=\left\{x \in E_1: \sin ^{-1}\left(\log _e\left(\frac{x}{x-1}\right)\right)\right.$ एक वास्तविक संख्या (real number) है $\}$
(यहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (inverse trigonometric function) $\sin ^{-1} x,\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ में मान धारण करता है।)
माना कि फलन $f: E_1 \rightarrow R , f(x)=\log _e\left(\frac{x}{x-1}\right)$ के द्वारा परिभाषित है
और फलन $g: E_2 \rightarrow R , g(x)=\sin ^{-1}\left(\log _e\left(\frac{x}{x-1}\right)\right)$ के द्वारा परिभाषित है।
| सूची $I$ | सूची $II$ |
| $P$ $f$ का परिसर (range) है | $1$ $\left(-\infty, \frac{1}{1- e }\right] \cup\left[\frac{ e }{ e -1}, \infty\right)$ |
| $Q$ $g$ के परिसर में समाहित (contained) है | $2$ $(0,1)$ |
| $R$ $f$ के प्रान्त (domain) में समाहित है | $3$ $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ |
| $S$ $g$ का प्रान्त है | $4$ $(-\infty, 0) \cup(0, \infty)$ |
| $5$ $\left(-\infty, \frac{ e }{ e -1}\right]$ | |
| $6$ $(-\infty, 0) \cup\left(\frac{1}{2}, \frac{ e }{ e -1}\right]$ |
दिए हुए विकल्पों मे से सही विकल्प है:
- [IIT 2018]
यदि बहुपद $p(x)=4 x^3-3 x$, में $x$ का मान $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ अन्तराल में हो तो बहुपद का परास $(range)$ निम्न में से कौन सा है?
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- [KVPY 2016]
यदि $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } }} + \frac{1}{{\sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } }}$, $x > 2$ के लिए, तब $f(11) = $
यदि $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } }} + \frac{1}{{\sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } }}$, $x > 2$ के लिए, तब $f(11) = $