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यदि दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ के किसी बिन्दु $P$ पर खींचे गये अभिलम्ब निर्देशांकों को $G$ व $g$ पर मिलते हैं, तो $PG:Pg = $
$a:b$
${a^2}:{b^2}$
${b^2}:{a^2}$
$b:a$
Solution
(c) माना $P$ $(a\cos \theta ,\,b\sin \theta )$ दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ पर कोई बिन्दु है, तो $P$ पर अभिलम्ब $ax\sec \theta – by\,\,{\rm{cosec}}\theta = {a^2} – {b^2}$ होगा।
यह निर्देशांक्षों को $G\,\left( {\frac{{{a^2} – {b^2}}}{a}\cos \theta ,\,0} \right)$ व $g\,{\rm{ }}\left( {0, – \frac{{{a^2} – {b^2}}}{b}\sin \theta } \right)$ पर काटता है।
$ \Rightarrow P{G^2} = {\left( {a\cos \theta – \frac{{{a^2} – {b^2}}}{a}\cos \theta } \right)^2} + {b^2}{\sin ^2}\theta $
$ = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}({b^2}{\cos ^2}\theta + {a^2}{\sin ^2}\theta )$
तथा $P{g^2} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}({b^2}{\cos ^2}\theta + {a^2}{\sin ^2}\theta )$, ,$PG:Pg = {b^2}:{a^2}$.
