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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola
hard
माना एक दीर्घवृत्त, जिसका केन्द्र $(1,0)$ पर है तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई $\frac{1}{2}$ है, का दीर्घ अक्ष, $\mathrm{x}$-अक्ष के अनुदिश है। यदि इसका लघु अक्ष इसकी नाभि पर $60^{\circ}$ का कोण बनाता हैं, तो इसके लघु तथा दीर्घ अक्षों की लंबाईयों के योग का वर्ग बराबर है :
A
$9$
B
$8$
C
$7$
D
$6$
(JEE MAIN-2023)
Solution
$\text { L.R. }=\frac{2 b^2}{a}=\frac{1}{2}$
$4 b^2=a…….(i)$
$\text { Ellipse } \frac{(x-1)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
$m_{B_2 F_1}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\frac{b}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$3 b^2=a^2 e^2=a^2-b^2$
$4 b^2=a^2……..(ii)$
$\text { From (i) and (ii) }$
$a=a^2$
$\therefore a=1$
$b^2=\frac{1}{4}$
$((2 a)+(2 b))^2=9$
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