किसी $\Delta ABC$ में, यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&a&b\\1&c&a\\1&b&c\end{array}\,} \right| = 0$, तो ${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = $

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c\\b&c&a\\c&a&b\end{array}\,} \right| = $

रैखिक समीकरण निकाय $2 x +3 y +2 z =9$ ; $3 x +2 y +2 z =9$ ; $x - y +4 z =8$

माना $A (1, \alpha), B (\alpha, 0)$ तथा $C (0, \alpha)$ शीर्षो वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई है। यदि बिन्दु $(\alpha,-\alpha),(-\alpha, \alpha)$ तथा $\left(\alpha^2, \beta\right)$ संरेखीय हो, तो $\beta$ का मान होगा

यदि रैखिक समीकरण निकाय $x + y + z =5$, $x +2 y +2 z =6$, $x +3 y +\lambda z =\mu,(\lambda, \mu \in R )$ के अनन्त हल है, तो $\lambda+\mu$ का मान है

$\lambda$ के उन वास्तविक मानों की संख्या जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय $2 x+4 y-\lambda z=0$; $4 x+\lambda y+2 z=0$; $\lambda x+2 y+2 z=0$ के अनंत हल हैं