सिद्ध कीजिए कि सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x\end{array}\right|, \theta$ से स्वतंत्र है।
सिद्ध कीजिए कि सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x\end{array}\right|, \theta$ से स्वतंत्र है।
$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x\end{array}\right|$
$=x\left(x^{2}-1\right)-\sin \theta(-x \sin \theta-\cos \theta)+\cos \theta(-\sin \theta+x \cos \theta)$
$=x^{3}-x+x \sin ^{2} \theta+\sin \theta \cos \theta-\sin \theta \cos \theta+x \cos ^{2} \theta$
$=x^{3}-x+x\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right)$
$=x^{3}-x+x$
$\left.=x^{3} \quad \text { (Independent of } \theta\right)$
Hence, $\Delta$ is independent of $\theta$
Similar Questions
माना $\lambda$ एक ऐसी वास्तविक संख्या है जिसके लिए रैखिक समीकरण निकाय $x + y + z =6$; $4 x +\lambda y -\lambda z =\lambda-2$; $3 x +2 y -4 z =-5$ के अनन्त हल हैं। तो $\lambda$ जिस द्विघात समीकरण का एक मूल है, वह है
माना $\lambda$ एक ऐसी वास्तविक संख्या है जिसके लिए रैखिक समीकरण निकाय $x + y + z =6$; $4 x +\lambda y -\lambda z =\lambda-2$; $3 x +2 y -4 z =-5$ के अनन्त हल हैं। तो $\lambda$ जिस द्विघात समीकरण का एक मूल है, वह है
- [JEE MAIN 2019]
यदि किसी समान्तर श्रेणी के $p$ वें, $q$ वें तथा $r$ वें पद क्रमश: $a,b,c$ हों, तो $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&p&1\\b&q&1\\c&r&1\end{array}\,} \right| = $
यदि किसी समान्तर श्रेणी के $p$ वें, $q$ वें तथा $r$ वें पद क्रमश: $a,b,c$ हों, तो $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&p&1\\b&q&1\\c&r&1\end{array}\,} \right| = $
समीकरण निकाय
$-k x+3 y-14 z=25$
$-15 x+4 y-k z=3$
$-4 x+y+3 z=4$
सभी $k$ के लिये किस समुच्चय में संगत होगा-
समीकरण निकाय
$-k x+3 y-14 z=25$
$-15 x+4 y-k z=3$
$-4 x+y+3 z=4$
सभी $k$ के लिये किस समुच्चय में संगत होगा-
- [JEE MAIN 2022]
यदि समीकरण निकाय $x-2 y+3 z=9$, $2 x+y+z=b$, $x-7 y+a z=24$ के अनंत हल हो, तो $a - b$ का मान होगा
यदि समीकरण निकाय $x-2 y+3 z=9$, $2 x+y+z=b$, $x-7 y+a z=24$ के अनंत हल हो, तो $a - b$ का मान होगा
- [JEE MAIN 2020]
यदि $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{a + b}&{a + b + c}\\{3a}&{4a + 3b}&{5a + 4b + 3c}\\{6a}&{9a + 6b}&{11a + 9b + 6c}\end{array}\,} \right|$ जहाँ $a = i,b = \omega ,c = {\omega ^2}$, तब $\Delta $का मान होगा
यदि $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{a + b}&{a + b + c}\\{3a}&{4a + 3b}&{5a + 4b + 3c}\\{6a}&{9a + 6b}&{11a + 9b + 6c}\end{array}\,} \right|$ जहाँ $a = i,b = \omega ,c = {\omega ^2}$, तब $\Delta $का मान होगा