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Trigonometrical Equations
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त्रिभुज $P Q R$ में, $P$ वृहत्तम कोण है तथा $\cos P=\frac{1}{3}$ । इसके अतिरिक्त त्रिभुज का अन्तःवृत्त भुजाओं $P Q, Q R$ तथा $R P$ को क्रमशः $N, L$ तथा $M$ पर इस तरह स्पर्श करता है कि $P N, Q L$ तथा $R M$ की लम्बाईयाँ क्रमागत सम पूर्ण संख्याएं है। तब त्रिभुज की भुजा (भुजाओं) की सम्भावित लम्बाई (लम्बाईयाँ) है (हैं)
$(A)$ $16$ $(B)$ $18$ $(C)$ $24$ $(D)$ $22$
A
$(A,D)$
B
$(B,D)$
C
$(B,C)$
D
$(A,C)$
(IIT-2013)
Solution

$\cos P=\frac{(2 n+2)^2+(2 n+4)^2-(2 n+6)^2}{2(2 n+2)(2 n+4)}=\frac{1}{3} $
$\Rightarrow \frac{4 n^2-16}{8(n+1)(n+2)}=\frac{1}{3} $
$=\frac{n^2-4}{2(n+1)(n+2)}=\frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{n-2}{2(n+1)}=\frac{1}{3} $
$=3 n-6=2 n+2 $
$\Rightarrow n=8 $
$\Rightarrow 2 n+2=18 $
$\Rightarrow 2 n+4=20 $
$\Rightarrow 2 n+6=22$
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