$5$ लड़कियों और $3$ लड़कों को एक पंक्ति में कितने प्रकार से बैठा सकते हैं, जब कि कोई भी दो लड़के एक साथ नहीं बैठते हैं ?
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Let us first seat the $5$ girls. This can be done in $5 !$ ways. For each such arrangement, the three boys can be seated only at the cross marked places.
$\times G \times G \times G \times G \times G \times$
There are $6$ cross marked places and the three boys can be seated in $^{6} P _{3}$ ways. Hence, by multiplication principle, the total number of ways
${ = 5!{ \times ^6}{P_3} = 5! \times \frac{{6!}}{{3!}}}$
${ = 4 \times 5 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 14400}$
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$9$ छात्रों, $s_1, s_2, \ldots, s_9$, के एक समूह को तीन टोलियाँ (teams) $X, Y$, तथा $Z$, जिनके सदस्यों की संख्या क्रमश: $2,3$ , तथा $4$ हैं, बनाने के लिए विभाजित किया जाना है। मान लीजिये कि $s_1$ को टोली $X$ के लिए नहीं चुना जा सकता है तथा $s_2$ को टोली $Y$ के लिए नहीं चुना जा सकता है। तब इस प्रकार की टोलियों को बनाने के तरीकों की संख्या. . . . . . है।
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- [IIT 2024]
यदि $^n{C_r} = 84,{\;^n}{C_{r - 1}} = 36$ तथा $^n{C_{r + 1}} = 126$, तो $n$ का मान होगा
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$m$ पुस्तके काले आवरण में और $n$ पुस्तकें नीले आवरण में है और सभी पुस्तकें भिन्न है. कुल $(m+n)$ पुस्तकों को आलमारी में कितने ढंग से सजाया जा सकता है जिससे कि काले आवरण वाली सभी पुस्तकें साथ-साथ रहे.
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- [KVPY 2020]
यदि $a , b$ तथा $c$ क्रमश: ${ }^{19} C _{ p },{ }^{20} C _{ q }$ तथा ${ }^{21} C _{ r }$ के अधिकतम मान हैं, तो
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- [JEE MAIN 2020]
${ }^{n-1} C_r=\left(k^2-8\right){ }^n C_{r+1}$ है यदि और केवल यदि :
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