- Home
- Standard 11
- Physics
કુદરતી ચનાઓ પ્રતાન વિકૃતિને કારણે તૂટવાને બદલે મોટે ભાગે વળ કે નમનને કારણે ઉદ્ભવેલા મોટા મૂલ્યના ટોર્કને કારણે તૂટી પડે છે. કોઈ બંધારણની તૂટી પડવાની આવી ક્રિયાને વંકન કહે છે. વૃક્ષો જેવી ઊંચી નળાકારીય રચનાઓના નમન માટેનું જવાબદાર ટોર્ક, તેના પોતાના વજનને કારણે ઉદ્ભવતું હોય છે. આવા કિસ્સામાં તેના ગુરુત્વકેન્દ્રમાંથી પસાર થતો શિરોલંબ, તેના પાયામાંથી પસાર થતો હોતો નથી. આ શિરોલંબને અનુલક્ષીને વૃક્ષના નમન માટેનું જરૂરી ટોર્ક $\frac{{Y\pi {r^4}}}{{4R}}$ જેટલું હોય છે. જ્યાં $Y =$ યંગ મોડ્યુલસ, $r =$ વૃક્ષના થડના આડછેદની ત્રિજ્યા તથા $R$ $=$ નમેલા વૃક્ષ વડે રચાયેલા વક્રની વક્રતાત્રિજયા. પ્રસ્તુત કિસ્સામાં વૃક્ષના થડના આડછેદની આપેલી ત્રિજયા માટે વૃક્ષની સીમાંત ઊંચાઈ (Critical Height) નો અંદાજ મેળવો.
Solution
Let us see the diagram of the given situation according to the problem the bending torque on the trunk of radius $r$ of tree $=\frac{\mathrm{Y} \pi r^{4}}{4 \mathrm{R}}$ where $\mathrm{R}$ is the radius of curvature of the bent surface,
when trunk is bend then, $\mathrm{Wd}=\frac{\mathrm{Y} \pi r^{4}}{4 \mathrm{R}}$
If $\mathrm{R}>>h$, then the centre of gravity of tree is at a height $l=\frac{1}{2} h$ from the ground.
From $\Delta \mathrm{ABCR}^{2}=(\mathrm{R}-d)^{2}+\left(\frac{1}{2} h\right)^{2}$
If $d<\mathrm{R}, \mathrm{R}^{2}=\mathrm{R}^{2}-2 \mathrm{R} d+\frac{1}{4} h^{2}$
$\therefore d=\frac{h^{2}}{8 \mathrm{R}}$
If $\omega_{0} \frac{\text { weight }}{\text { volume }}$, then
$\frac{\mathrm{Y} \pi r^{4}}{4 \mathrm{R}}=\omega_{0}\left(\pi r^{2} h\right) \frac{h^{2}}{8 \mathrm{R}}$
