કુદરતી ચનાઓ પ્રતાન વિકૃતિને કારણે તૂટવાને બદલે મોટે ભાગે વળ કે નમનને કારણે ઉદ્ભવેલા મોટા મૂલ્યના ટોર્કને કારણે તૂટી પડે છે. કોઈ બંધારણની તૂટી પડવાની આવી ક્રિયાને વંકન કહે છે. વૃક્ષો જેવી ઊંચી નળાકારીય રચનાઓના નમન માટેનું જવાબદાર ટોર્ક, તેના પોતાના વજનને કારણે ઉદ્ભવતું હોય છે. આવા કિસ્સામાં તેના ગુરુત્વકેન્દ્રમાંથી પસાર થતો શિરોલંબ, તેના પાયામાંથી પસાર થતો હોતો નથી. આ શિરોલંબને અનુલક્ષીને વૃક્ષના નમન માટેનું જરૂરી ટોર્ક $\frac{{Y\pi {r^4}}}{{4R}}$ જેટલું હોય છે. જ્યાં $Y =$ યંગ મોડ્યુલસ, $r =$ વૃક્ષના થડના આડછેદની ત્રિજ્યા તથા $R$ $=$ નમેલા વૃક્ષ વડે રચાયેલા વક્રની વક્રતાત્રિજયા. પ્રસ્તુત કિસ્સામાં વૃક્ષના થડના આડછેદની આપેલી ત્રિજયા માટે વૃક્ષની સીમાંત ઊંચાઈ (Critical Height) નો અંદાજ મેળવો.
કુદરતી ચનાઓ પ્રતાન વિકૃતિને કારણે તૂટવાને બદલે મોટે ભાગે વળ કે નમનને કારણે ઉદ્ભવેલા મોટા મૂલ્યના ટોર્કને કારણે તૂટી પડે છે. કોઈ બંધારણની તૂટી પડવાની આવી ક્રિયાને વંકન કહે છે. વૃક્ષો જેવી ઊંચી નળાકારીય રચનાઓના નમન માટેનું જવાબદાર ટોર્ક, તેના પોતાના વજનને કારણે ઉદ્ભવતું હોય છે. આવા કિસ્સામાં તેના ગુરુત્વકેન્દ્રમાંથી પસાર થતો શિરોલંબ, તેના પાયામાંથી પસાર થતો હોતો નથી. આ શિરોલંબને અનુલક્ષીને વૃક્ષના નમન માટેનું જરૂરી ટોર્ક $\frac{{Y\pi {r^4}}}{{4R}}$ જેટલું હોય છે. જ્યાં $Y =$ યંગ મોડ્યુલસ, $r =$ વૃક્ષના થડના આડછેદની ત્રિજ્યા તથા $R$ $=$ નમેલા વૃક્ષ વડે રચાયેલા વક્રની વક્રતાત્રિજયા. પ્રસ્તુત કિસ્સામાં વૃક્ષના થડના આડછેદની આપેલી ત્રિજયા માટે વૃક્ષની સીમાંત ઊંચાઈ (Critical Height) નો અંદાજ મેળવો.
Let us see the diagram of the given situation according to the problem the bending torque on the trunk of radius $r$ of tree $=\frac{\mathrm{Y} \pi r^{4}}{4 \mathrm{R}}$ where $\mathrm{R}$ is the radius of curvature of the bent surface,
when trunk is bend then, $\mathrm{Wd}=\frac{\mathrm{Y} \pi r^{4}}{4 \mathrm{R}}$
If $\mathrm{R}>>h$, then the centre of gravity of tree is at a height $l=\frac{1}{2} h$ from the ground.
From $\Delta \mathrm{ABCR}^{2}=(\mathrm{R}-d)^{2}+\left(\frac{1}{2} h\right)^{2}$
If $d<\mathrm{R}, \mathrm{R}^{2}=\mathrm{R}^{2}-2 \mathrm{R} d+\frac{1}{4} h^{2}$
$\therefore d=\frac{h^{2}}{8 \mathrm{R}}$
If $\omega_{0} \frac{\text { weight }}{\text { volume }}$, then
$\frac{\mathrm{Y} \pi r^{4}}{4 \mathrm{R}}=\omega_{0}\left(\pi r^{2} h\right) \frac{h^{2}}{8 \mathrm{R}}$
Similar Questions
$2\, m$ લંબાઈ અને $10\;c{m^3}$ આડછેડનું ક્ષેત્રફળ ફ્ધારવતા કોપરના તાર પર $F$ બળ લગાવતા તેની લંબાઈમાં $2\, mm$ નો વધારો થાય છે. બીજા સમાન કદ ધરાવતા કોપરનો તાર જેની લંબાઈ $8 \,m$ છે તેના પર $F$ બળ લગાવતા લંબાઈમાં થતો વધારો ......... $cm$ હશે .
$2\, m$ લંબાઈ અને $10\;c{m^3}$ આડછેડનું ક્ષેત્રફળ ફ્ધારવતા કોપરના તાર પર $F$ બળ લગાવતા તેની લંબાઈમાં $2\, mm$ નો વધારો થાય છે. બીજા સમાન કદ ધરાવતા કોપરનો તાર જેની લંબાઈ $8 \,m$ છે તેના પર $F$ બળ લગાવતા લંબાઈમાં થતો વધારો ......... $cm$ હશે .
એક સમાન ધાત્વીય તાર પર $F$ જેટલું રેખીય બળ લગાડવામાં આવે ત્યારે તેની લંબાઈ $0.04 \,m$ જેટલી વધે છે. જો તેની લંબાઈ અને વ્યાસ બમણો કરવામાં આવે તો તે સમાન બળ માટે પ્રતાન (લંબાઈ) માં વધારો ........ $cm$ થશે.
એક સમાન ધાત્વીય તાર પર $F$ જેટલું રેખીય બળ લગાડવામાં આવે ત્યારે તેની લંબાઈ $0.04 \,m$ જેટલી વધે છે. જો તેની લંબાઈ અને વ્યાસ બમણો કરવામાં આવે તો તે સમાન બળ માટે પ્રતાન (લંબાઈ) માં વધારો ........ $cm$ થશે.
- [JEE MAIN 2021]
$k$ જેટલા બળ અચળાંકવાળી એક હલકી સ્થિતિસ્થાપક દોરીના છેડે દળવાળો પથ્થર બાંધેલો છે. સામાન્ય સ્થિતિમાં આ દોરીની લંબાઈ $L$ છે. આ દોરીનો બીજો છેડો $P$ બિંદુએ જડિત કરેલી ખીલી સાથે બાંધેલો છે. પ્રારંભમાં પથ્થર $P$ બિંદુના સમક્ષિતિજ લેવલ પર છે. હવે આ પથ્થરને $P$ બિંદુએથી મુક્ત કરવામાં આવે છે.
$(a)$ પથ્થર જે બિંદુએ પહેલીવાર ક્ષણ પૂરતો સ્થિર થાય તે બિંદુનું ટોચના બિંદુથી અંતર $y$ શોધો.
$(b)$ અત્રે પથ્થરને મુક્ત કર્યા બાદ તેનો મહત્તમ વેગ કેટલો હશે ?
$(c)$ ગતિપથ પરના નિમ્નતમ સ્થાને પહોંચ્યા બાદ ગતિનો પ્રકાર કેવો હશે ?
$k$ જેટલા બળ અચળાંકવાળી એક હલકી સ્થિતિસ્થાપક દોરીના છેડે દળવાળો પથ્થર બાંધેલો છે. સામાન્ય સ્થિતિમાં આ દોરીની લંબાઈ $L$ છે. આ દોરીનો બીજો છેડો $P$ બિંદુએ જડિત કરેલી ખીલી સાથે બાંધેલો છે. પ્રારંભમાં પથ્થર $P$ બિંદુના સમક્ષિતિજ લેવલ પર છે. હવે આ પથ્થરને $P$ બિંદુએથી મુક્ત કરવામાં આવે છે.
$(a)$ પથ્થર જે બિંદુએ પહેલીવાર ક્ષણ પૂરતો સ્થિર થાય તે બિંદુનું ટોચના બિંદુથી અંતર $y$ શોધો.
$(b)$ અત્રે પથ્થરને મુક્ત કર્યા બાદ તેનો મહત્તમ વેગ કેટલો હશે ?
$(c)$ ગતિપથ પરના નિમ્નતમ સ્થાને પહોંચ્યા બાદ ગતિનો પ્રકાર કેવો હશે ?
$50\; {cm}$ અને $100 \;{cm}$ અનુક્રમે અંદરની અને બહારની ત્રિજ્યા ધરાવતા સ્ટીલના બનેલા ચાર સ્તંભ $50 \times 10^{3} {kg}$ દળને સપોર્ટ કરે છે. બધા પર સમાન દળનું વિતરણ ધરવામાં આવે તો દરેક નળાકારની તણાવ વિકૃતિની ગણતરી કરો. [$\left.{Y}=2.0 \times 10^{11} \;{Pa}, {g}=9.8\; {m} / {s}^{2}\right]$
$50\; {cm}$ અને $100 \;{cm}$ અનુક્રમે અંદરની અને બહારની ત્રિજ્યા ધરાવતા સ્ટીલના બનેલા ચાર સ્તંભ $50 \times 10^{3} {kg}$ દળને સપોર્ટ કરે છે. બધા પર સમાન દળનું વિતરણ ધરવામાં આવે તો દરેક નળાકારની તણાવ વિકૃતિની ગણતરી કરો. [$\left.{Y}=2.0 \times 10^{11} \;{Pa}, {g}=9.8\; {m} / {s}^{2}\right]$
- [JEE MAIN 2021]
બે સમાન દ્રવ્યમાથી બનાવેલા તાર જેની લંબાઈ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર અનુક્રમે $1:2$ અને $1:\sqrt 2 $ છે. જો તેમના પર સમાન બળ લગાવવામાં આવે તો તેમની લંબાઈમાં થતાં વધારાનો ગુણોત્તર _____
બે સમાન દ્રવ્યમાથી બનાવેલા તાર જેની લંબાઈ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર અનુક્રમે $1:2$ અને $1:\sqrt 2 $ છે. જો તેમના પર સમાન બળ લગાવવામાં આવે તો તેમની લંબાઈમાં થતાં વધારાનો ગુણોત્તર _____