$13$ क्रिकेट खिलाड़ियों से, जिनमें $4$ गेंदबाज हैं, $11$ खिलाड़ियों की टीम कुल कितने प्रकार से बनायी जा सकती है यदि टीम में कम से कम $2$ गेंदबाज अवश्य शमिल हों

यदि $^{n + 1}{C_3} = 2{\,^n}{C_2},$ तो $n =$

समीकरण $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=21$, जहाँ $\mathrm{x} \geq 1, \mathrm{y} \geq 3, \mathrm{z} \geq 4$ हैं, के पूर्णांकीय हलों की संख्या है___________.

यदि $n$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को एक साथ लेकर बनने वाले संचयों को $^n{C_r}$ द्वारा प्रदर्शित किया जाये, तो व्यंजक $^n{C_{r + 1}} + {\,^n}{C_{r - 1}} + \,2 \times {\,^n}{C_r}$ का मान होगा

$21$ अंग्रेजी की पुस्तकें तथा $19$ हिन्दी की पुस्तकें एक पंक्ति में कितने प्रकार से रखी जा सकती हैं ताकि हिन्दी की कोई भी दो पुस्तकें साथ-साथ न हों

$6$ लड़कों तथा $4$ लड़कियों में से $7$ का एक समूह बनाना है। यदि समूह में लड़के बहुसंख्यक रहें, तो यह कितने तरीके से बनाया जा सकता है