જો $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  2&b&1 \\ 
  b&{{b^2} + 1}&b \\ 
  1&b&2 
\end{array}} \right]$  કે જ્યાં $b > 0$. તો $\frac{{\det \left( A \right)}}{b}$ ની ન્યૂનતમ કિમંત મેળવો.

સમીકરણ સંહતિને ધ્યાનમાં લ્યો.

$-x+y+2 z=0$  ;   $3 x-a y+5 z=1$  ; $2 x-2 y-a z=7$

જો ગણ $S_{1}$ એ દરેક  $\mathrm{a} \in {R}$ કે જેના માટે સમીકરણ સહંતિ સુંસંગત નથી તેને સમાવે છે  અને  $S_{2}$ એ $a \in {R}$ કે જેના માટે સમીકરણને અનંત ઉકેલ તેને સમાવે છે . જો $n\left(S_{1}\right)$ અને $n\left(S_{2}\right)$ એ અનુક્રમે $S_{1}$ અને $\mathrm{S}_{2}$ ની સભ્ય સંખ્યા હોય તો 

જો સમીકરણ સંહતિ

$2 x+y-z=5$

$2 x-5 y+\lambda z=\mu$

$x+2 y-5 z=7$

ને અસંખ્ય  ઉકેલો હોય,તો

$(\lambda+\mu)^2+(\lambda-\mu)^2=........$

જો $k > 0$ માટે બિંદુઓ  $(2k, k), (k, 2k)$ અને  $(k, k)$ દ્વારા રચાતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $18$ એકમ હોય તો ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર મેળવો.

જો $A_1B_1C_1,\, A_2B_2C_2,\, A_3B_3C_3$ એ ત્રણ અંકોની સંખ્યા છે કે જે $k$ વડે વિભાજ્ય છે અને $\Delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{A_1}{\kern 1pt} }&{{B_1}}&{{C_1}} \\ 
  {{A_2}}&{{B_2}}&{{C_2}} \\ 
  {{A_3}}&{{B_3}}&{{C_3}} 
\end{array}} \right|$ હોય તો  $\Delta $ એ  . .  વડે વિભાજ્ય છે .

જો $f(\theta ) =\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{\cos {\mkern 1mu} \theta }&1\\
{ - \sin {\mkern 1mu} \theta }&1&{ - \cos {\mkern 1mu} \theta }\\
{ - 1}&{\sin {\mkern 1mu} \theta }&1
\end{array}} \right|$ અને $A$ અને $B$ એ અનુક્રમે $f(\theta )$ ની મહતમ અને ન્યૂનતમ કિમતો હોય તો $(A , B)$ મેળવો.