माना A =left[begin{array}{ll}2 & 3 a & 0end{array}right], a ∈ R को P + Q क?

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3 and 4 .Determinants and Matrices

medium

माना $A =\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ a & 0\end{array}\right], a \in R$ को $P + Q$ के रूप में लिखा गया है, जहाँ $P$ एक सममित आव्यूह है तथा $Q$ एक विषम सममित आव्यूह है। यदि $\operatorname{det}(Q)=9$ है, तो $\operatorname{det}( P )$ के सभी संभव मानों के योगफल का मापांक बराबर है

A

$24$

B

$18$

C

$45$

D

$36$

(JEE MAIN-2021)

Solution

$A=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ a & 0\end{array}\right], a \in R$

and and $P \frac{A+A^{T}}{2}=\left[\begin{array}{cc}2 & \frac{3+a}{2} \\ \frac{a+3}{2} & 0\end{array}\right]$

and $\operatorname{and} Q \frac{A-A^{T}}{2}=\left[\begin{array}{cc}0 & \frac{3-a}{2} \\ \frac{a-3}{2} & 0\end{array}\right]$

As, $\operatorname{det}(Q)=9$

$\Rightarrow(a-3)^{2}=36$

$\Rightarrow a=3 \pm 6$

$\therefore a=9,-3$

$\operatorname{det}(P)=$ $\left|\begin{array}{cc}2 & \frac{3+a}{2} \\ \frac{a+3}{2} & 0\end{array}\right|$

$=0-\frac{(a+3)^{2}}{4}=0, \text { for } a=-3 \Rightarrow \operatorname{det}(P)=0$

$=0-\frac{(a+3)^{2}}{4}=\frac{1}{4}(12)^{2}, \text { for } a=9 \Rightarrow \operatorname{det}(P)=36$

$\therefore$ Modulus of the sum of all possible values of det. $(P)=|36|+|0|=36$

Standard 12

Mathematics

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एक वर्ग आव्यूह $A = [{a_{ij}}]$ इस प्रकार है, कि ${a_{ij}} = 0$ (जबकि $i\, \ne j$) और ${a_{ij}} = k$ (स्थिरांक), (जबकि $i = j$) तब वर्ग आव्यूह $A$ होगा

normal

यदि $ A$ और $ B$ दो समान कोटि के वर्ग आव्यूह हों, तो निम्न में से सत्य है

normal

माना की $\quad P_1=I=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], \quad P_2=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \quad P_3=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], \quad P_4=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right], \quad P_5=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$,

$P_6=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ और $X=\sum_{k=1}^6 P_k\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right] P_k^{\top}$

जहाँ आव्यूह (matrix) $P _{ K }$ के परिवर्त (transpose) को $P _{ K }^{ T }$ से दर्शाया गया है। तब निम्न में से कौन सा (से) विकल्प सहीं है (हैं)?

जहाँ आव्यूह (matrix) $P _{ K }$ के परिवर्त (transpose) को $P _{ E }^{ T }$ से दर्शाया गया है। तब निम्न में से कौन सा (से) विकल्प सहीं है

(हैं)?

$(1)$ $X -30 I$ एक व्युत्क्रमणीय (invertible) आव्यूह है।

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$(4)$ $X$ एक समित (symmetric) अव्युह हैं

normal

(IIT-2019)

यदि $A = \left[ \begin{array}{l}1\\2\\3\end{array} \right],$तो $AA' = $

normal

वर्ग आव्यूह के अनुरेख को इसकी विकर्ण प्रविष्टियों के योगफल से परिभाषित करते है। यदि $A , 2 \times 2$ कोटि का आव्यूह इस प्रकार है कि $A$ का अनुरेख $3$ तथा $A ^3$ का अनुरेख -$18$ हो, तो $A$ के सारणिक का मान होगा

normal

(IIT-2020)