माना : A ={0,1,2,3,4,5,6,7} एक समुच्चय है। तो फलनों f:

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1.Relation and Function

hard

माना : $A =\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ एक समुच्चय है। तो फलनों $f: A \rightarrow A$, जो आच्छादक तथा एकैकी दोनों है तथा $f(1)+f(2)=3-f(3)$ को संतुष्ट करते है, की संख्या बराबर है ........... |

A

$500$

B

$620$

C

$720$

D

$885$

(JEE MAIN-2021)

Solution

$f(1)+f(2)=3-f(3)$

$\Rightarrow f(1)+f(2)+f(3)=3$

The only possibility is: $0+1+2=3$

$\Rightarrow$ Elements $1,2,3$ in the domain can be mapped with $0,1,2$ only.

So number of bijective functions.

$=\lfloor 3 \times\lfloor 5=720$

Standard 12

Mathematics

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यदि $R$ वास्तविक संख्याओं का एक समुच्चय इस प्रकार है कि $f: R \rightarrow R$ निम्नलिखित द्वारा परिभाषित होता है

$f(x)=\frac{[x]}{1+[x]^2}$, जहाँ $[x]$ अधिकतम पूर्णांक जो $x$ के बराबर या उससे छोटा है तथा $[x\}=x-[x]$.तब निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है ?

$I$. $f^{\prime}$ का परास $(range)$ एक बंद अन्तराल $(closed\,interval)$ है

$II$. $f, R$ पर सतत $(continuous)$ फलन है

$III$. $f$. $I$पर एकैक $(one-one)$ फलन है

normal

(KVPY-2017)

सिद्ध कीजिए कि $f(x)=x^{3}$ द्वारा प्रदत्त फलन $f: R \rightarrow R$ एकैक (Injective) है।

medium

माना $f : R \rightarrow R , f ( x )=\frac{ x }{1+ x ^{2}}, x \in R$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $f$ का परिसर है

hard

(JEE MAIN-2019)

$f(x)=\sin x$ द्वारा प्रदत्त फलन $f:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow R$ तथा $g(x)=\cos x$ द्वारा प्रदत्त फलन $g:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow R$ पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $f$ तथा $g$ एकैकी है, परंतु $f+g$ एकैकी नहीं है।

easy

फलन $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{\tan ^{ – 1}}x\;\;\;\;\;,\;|x|\; \le 1\\\frac{1}{2}(|x|\; – 1)\;,\;|x|\; > 1\end{array} \right.$ के अवकलज का डोमेन (प्रान्त) है

hard

(IIT-2002)