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माना $A =\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है। तो $3 \times 3$ आव्यूहों $B$, जिनकी प्रविष्टियाँ, समुच्चय, $\{1,2,3,4,5\}$ से हैं तथा जो $AB = BA$ को संतुष्ट करते है, की संख्या है
$3500$
$3125$
$4500$
$6000$
Solution
Let matrix $B=\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & n & i\end{array}\right]$
$\therefore A B=B A$
$\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{lll}d & e & f \\ a & b & c \\ g & h & i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}b & a & c \\ e & d & f \\ h & g & i\end{array}\right]$
$\Rightarrow d=b, e=a, f=c, g=h$
$\therefore$ Matrix $B=\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\ b & a & c \\ g & g & i\end{array}\right]$
No. of ways of selecting $a, b, c, g$,
$\mathrm{i}=5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5$
$=5^{5}=3125$
$\therefore$ No. of Matrices $B=3125$
Similar Questions
एक निर्माता तीन प्रकार की वस्तुएँ $x, y,$ तथा $z$ का उत्पादन करता है जिन का वह दो बाजारों में विक्रय करता है। वस्तुओं की वार्षिक बिक्री नीचे सूचित (निदर्शित) है:
| बाज्ञार | $x$ | उत्पादन | $z$ |
| $I$ | $10,000$ | $2,000$ | $18,000$ |
| $II$ | $6,000$ | $20,000$ | $8,000$ |
यदि उपर्युक्त तीन वस्तुओं की प्रत्येक इकाई की लागत (Cost) क्रमशः $Rs.\, 2.00$, $Rs.\, 1.00$ तथा पैसे $50$ है तो कुल लाभ (Gross profit) ज्ञात कीजिए।
