माना A =left[ a _{ ij }right] , कोटी 3 का वर्ग आव्यूह इस

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3 and 4 .Determinants and Matrices

hard

माना $A =\left[ a _{ ij }\right]$, कोटी 3 का वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि सभी $i , j =1,2,3$ के लिये $a _{ ij }=2^{ j }$ ${ }^{-i}$ है। तब आव्यूह $A ^2+ A ^3+\ldots+ A ^{10}$ है :

A

$\left(\frac{3^{10}-3}{2}\right) A$

B

$\left(\frac{3^{10}-1}{2}\right) A$

C

$\left(\frac{3^{10}+1}{2}\right) A$

D

$\left(\frac{3^{10}+3}{2}\right) A$

(JEE MAIN-2022)

Solution

$A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 2^{2} \\ 1 / 2 & 1 & 2 \\ 1 / 2^{2} & 1 / 2 & 1\end{array}\right)$

$A^{2}=3 A$

$A ^{3}=3^{2} A$

$A ^{2}+ A ^{3}+\ldots A ^{10}$

$=3 A +3^{2} A +\ldots+3^{9} A =\frac{3\left(3^{9}-1\right)}{3-1} A$

$=\frac{3^{10}-3}{2} A$

Standard 12

Mathematics

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easy

मान लीजिए कि $A$ आव्यूह $\left(\begin{array}{ll}0 & i \\ i & 0\end{array}\right)$ को दर्शाता है, जहाँ $i^2=-1$ है और मान लीजिए कि I तत्तमक आव्यूह $\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ $(identity\,matrix)$ को दर्शाता है तो $1+$ $A + A ^2+\ldots A ^{2010}$ है:

normal

(KVPY-2010)

सही कथन चुनिये

normal

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hard

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आव्यूह $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&\lambda &{ – 4}\\{ – 1}&3&4\\1&{ – 2}&{ – 3}\end{array}} \right]$ व्युत्क्रमणीय होगा, यदि

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