मान लें M=2^{30}-2^{15}+1 एवं M^2 को आधार 2 पर व्यक्त

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8. Sequences and Series

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मान लें $M=2^{30}-2^{15}+1$ एवं $M^2$ को आधार $2$ पर व्यक्त किया जाता है. $M^2$ के आधार $2$ के इस निरूपण में कितने $1$ की संख्या है?

$29$

$30$

$59$

$60$

(KVPY-2020)

Solution

(b)

Given,

$\begin{aligned} M^2=& 2^{66}-2^{46}+2^{32}+2^{30}-2^{16}+1 \\ M^2=& 2^{46}\left[\frac{2^{14}-1}{2-1}\right]+2^{32}+2^{16}\left[\frac{2^{14}-1}{2-1}\right]+1 \\ M^2=& 2^{46}\left[1+2+2^2+\ldots+2^{13}\right] \\ & \quad+2^{32}+2^{16}\left[1+2+2^2+\ldots+2^{13}\right]+1 \\ M^2=& \frac{2^{59}+2^{58}+\ldots+2^{46}}{14 \text { terms }}+2^{32} \end{aligned}$

$\underbrace{+2^{29}+2^{28}+\ldots+2^{16}}_{14 \text { terms }}+2^0$

Therefore, on base $2$ representation of $M^2$, there will be $30$ times digit $1$ .

Standard 11

Mathematics

$0.\mathop {234}\limits^{\,\,\, \bullet \,\, \bullet } $ का मान होगा

medium

माना $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ गुणोत्तर श्रेणी इस प्रकार है कि $a_{1}<0, a_{1}+a_{2}=4$ तथा $a_{3}+a_{4}=16$. यदि $\sum_{i=1}^{9} a_{i}=4 \lambda$ है, तो $\lambda$ बराबर है

hard

(JEE MAIN-2020)

माना $a _{1}, a _{2}, \ldots \ldots, a _{10}$ एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है। यदि $\frac{ a _{3}}{ a _{1}}=25$, तो $\frac{ a _{9}}{ a _{5}}$ बराबर है

hard

(JEE MAIN-2019)

किसी गुणोत्तर श्रेणी का चौथा पद उसके दूसरे पद का वर्ग है तथा प्रथम पद $-3$ है तो $7$ वाँ पद ज्ञात कीजिए।

medium

अनुक्रम का कौन सा पद.

$\sqrt{3}, 33 \sqrt{3}, \ldots ; 729$ है ?

easy