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मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ एक सतत फलन इस प्रकार है कि सभी $x \in R$ के लिए $f\left(x^2\right)=f\left(x^3\right)$ है। निम्न कथनों पर विचार करें
$I$. $f$ एक विषम फलन है
$II$. $f$ एक सम फलन है
$III$. $f$ सभी जगह अवकलनीय है तब
$I$ सत्य है और $III$ असत्य है
$II$ सत्य है और $III$ असत्य है
दोनों $I$ एवं $III$ सत्य हैं
दोनों II एवं $III$ सत्य हैं
Solution
(d)
Given function $f: R \longrightarrow R$ be a continuous function such that $f\left(x^2\right)=f\left(x^3\right) \forall x \in R$
then $f(x)=f\left(x^{23}\right) \quad$ [on replacing $x$ by $x^{1 / 3}$ ]
Similarly,
$f(x)=f\left(x^{23}\right)=f\left(x^{4 / 9}\right)=f\left(x^{2 / 27}\right)=$
$\quad \ldots=f\left(x^{(23)^n}\right)$
$=f\left(x^0\right) \text { [as } x \text { tends to infinity] }=f(1)$
$\therefore f(x)=f(1)=\text { constant }$
The function $f(x)=$ constant is even and differentiable everywhere.
